MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsn Structured version   Unicode version

Theorem sumsn 12534
Description: A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fsum1.1  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
sumsn  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable groups:    B, k    k, M    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sumsn
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2572 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3283 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3259 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 12491 . . 3  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3254 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 10011 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  NN )
8 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5716 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 10311 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 11094 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5666 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 3838 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3257 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
19 nfcvd 2573 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ k B )
20 fsum1.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
2119, 20csbiegf 3291 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
2221ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
23 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2422, 23eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2518, 24eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2621ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ M  / 
k ]_ A  =  B )
27 elfz1eq 11068 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
2827fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
29 fvsng 5927 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
306, 8, 29sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3128, 30sylan9eqr 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  =  M )
3231csbeq1d 3257 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3327fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
34 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
35 fvsng 5927 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
366, 34, 35sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3733, 36sylan9eqr 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  =  B )
3826, 32, 373eqtr4rd 2479 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  = 
[_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  / 
k ]_ A )
395, 7, 15, 25, 38fsum 12514 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1
) )
404, 39syl5eq 2480 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
4111, 36seq1i 11337 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4240, 41eqtrd 2468 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   [_csb 3251   {csn 3814   <.cop 3817   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   1c1 8991    + caddc 8993   NNcn 10000   ZZcz 10282   ...cfz 11043    seq cseq 11323   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  fsum1  12535  sumsns  12536  fsumm1  12537  fsum1p  12539  fsum2dlem  12554  fsumge1  12576  fsumrlim  12590  fsumo1  12591  fsumiun  12600  incexclem  12616  incexc  12617  rpnnen2lem11  12824  bitsinv1  12954  2ebits  12959  bitsinvp1  12961  ovolfiniun  19397  volfiniun  19441  itg11  19583  itgfsum  19718  plyeq0lem  20129  coemulhi  20172  vieta1lem2  20228  vieta1  20229  chtprm  20936  musumsum  20977  muinv  20978  logexprlim  21009  perfectlem2  21014  dchrhash  21055  rpvmasum2  21206  sumpr  24218  fprodefsum  25298  binomfallfac  25357  ismrer1  26547  jm2.23  27067  stoweidlem17  27742  stoweidlem44  27769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator