Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnd Unicode version

Theorem sumsnd 27800
Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 12229. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnd.1  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
sumsnd.2  |-  F/ k
ph
sumsnd.3  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
sumsnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
sumsnd.5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sumsnd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable group:    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    V( k)

Proof of Theorem sumsnd
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2432 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3126 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3102 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 12186 . . 3  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3097 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 9773 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
8 sumsnd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5530 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 10849 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5480 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 9 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 3677 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A
)
19 sumsnd.2 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
20 sumsnd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
21 sumsnd.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
2219, 20, 8, 21csbiedf 3131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
2322adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
24 sumsnd.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2524adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2623, 25eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2718, 26eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2822adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
29 elfz1eq 10823 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
3029fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
31 fvsng 5730 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
326, 8, 31sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3330, 32sylan9eqr 2350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  M )
3433csbeq1d 3100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3529fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
36 fvsng 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
376, 24, 36sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3835, 37sylan9eqr 2350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  B )
3928, 34, 383eqtr4rd 2339 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
405, 7, 15, 27, 39fsum 12209 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1
) )
414, 40syl5eq 2340 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
4211, 37seq1i 11076 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4341, 42eqtrd 2328 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   [_csb 3094   {csn 3653   <.cop 3656   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762   ZZcz 10040   ...cfz 10798    seq cseq 11062   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  sumpair  27809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator