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Theorem sumsplit 12552
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sumsplit.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumsplit.3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sumsplit.4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
sumsplit.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
sumsplit.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
sumsplit.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
sumsplit.8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
sumsplit.9  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
sumsplit  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumsplit
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
2 sumsplit.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
32ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  B ) C  e.  CC )
4 sumsplit.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
54eqimssi 3402 . . . . 5  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  C_  ( ZZ>= `  M ) )
76orcd 382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)
8 sumss2 12520 . . 3  |-  ( ( ( ( A  u.  B )  C_  Z  /\  A. k  e.  ( A  u.  B ) C  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>= `  M )  \/  Z  e.  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  B
) C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
91, 3, 7, 8syl21anc 1183 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  sum_ k  e.  Z  if (
k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
10 sumsplit.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
11 sumsplit.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
12 iftrue 3745 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
1312adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
14 elun1 3514 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
1514, 2sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1613, 15eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
17 iffalse 3746 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
18 0cn 9084 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1917, 18syl6eqel 2524 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
2019adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
2116, 20pm2.61dan 767 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
2221adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
23 sumsplit.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
24 iftrue 3745 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
2524adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
26 elun2 3515 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
2726, 2sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2825, 27eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
29 iffalse 3746 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
3029, 18syl6eqel 2524 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
3130adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
3228, 31pm2.61dan 767 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
0 )  e.  CC )
3332adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
34 sumsplit.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
35 sumsplit.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
364, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35isumadd 12551 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
3715addid1d 9266 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
38 noel 3632 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  k  e.  (/)
39 elin 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
40 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
4140eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
4239, 41syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
4338, 42mtbii 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
44 imnan 412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
4543, 44sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
4645imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4746, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
4813, 47oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
49 iftrue 3745 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5014, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5150adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5237, 48, 513eqtr4rd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
5332addid2d 9267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
5453adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
5517adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
5655oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) ) )
57 biorf 395 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  B  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
58 elun 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
5957, 58syl6rbbr 256 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  ( A  u.  B )  <-> 
k  e.  B ) )
6059adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
k  e.  ( A  u.  B )  <->  k  e.  B ) )
6160ifbid 3757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
6254, 56, 613eqtr4rd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
6352, 62pm2.61dan 767 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B
) ,  C , 
0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
6463sumeq2sdv 12498 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
651unssad 3524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
6615ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
67 sumss2 12520 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  Z  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
6865, 66, 7, 67syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
691unssbd 3525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  Z )
7027ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
71 sumss2 12520 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  Z  /\  A. k  e.  B  C  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
7269, 70, 7, 71syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
7368, 72oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
7436, 64, 733eqtr4rd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  = 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
759, 74eqtr4d 2471 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   0cc0 8990    + caddc 8993   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    seq cseq 11323    ~~> cli 12278   sum_csu 12479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
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