Theorem sumsqne0 6635

Description: The sum of two squares is nonzero iff one of its terms is nonzero.

Hypotheses

Ref	Expression
sumsqne0.1	|- A e. RR
sumsqne0.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
sumsqne0	|- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)

Proof of Theorem sumsqne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsqne0.1	. . . . 5 |- A e. RR
2	1	sqgt0 6628	. . . 4 |- (A =/= 0 -> 0 < (A^2))
3		sumsqne0.2	. . . . . . 7 |- B e. RR
4	3	sqge0 6629	. . . . . 6 |- 0 <_ (B^2)
5	1	resqcl 6624	. . . . . . 7 |- (A^2) e. RR
6	3	resqcl 6624	. . . . . . 7 |- (B^2) e. RR
7		addge01t 5684	. . . . . . 7 |- (((A^2) e. RR /\ (B^2) e. RR) -> (0 <_ (B^2) <-> (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))))
8	5, 6, 7	mp2an 699	. . . . . 6 |- (0 <_ (B^2) <-> (A^2) <_ ((A^2) + (B^2)))
9	4, 8	mpbi 189	. . . . 5 |- (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))
10		0re 5452	. . . . . 6 |- 0 e. RR
11	5, 6	readdcl 5346	. . . . . 6 |- ((A^2) + (B^2)) e. RR
12	10, 5, 11	ltletr 5599	. . . . 5 |- ((0 < (A^2) /\ (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
13	9, 12	mpan2 698	. . . 4 |- (0 < (A^2) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
14	11	gt0ne0 5623	. . . 4 |- (0 < ((A^2) + (B^2)) -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
15	2, 13, 14	3syl 20	. . 3 |- (A =/= 0 -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
16	3	sqgt0 6628	. . . 4 |- (B =/= 0 -> 0 < (B^2))
17	1	sqge0 6629	. . . . . 6 |- 0 <_ (A^2)
18		addge02t 5685	. . . . . . 7 |- (((B^2) e. RR /\ (A^2) e. RR) -> (0 <_ (A^2) <-> (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))))
19	6, 5, 18	mp2an 699	. . . . . 6 |- (0 <_ (A^2) <-> (B^2) <_ ((A^2) + (B^2)))
20	17, 19	mpbi 189	. . . . 5 |- (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))
21	10, 6, 11	ltletr 5599	. . . . 5 |- ((0 < (B^2) /\ (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
22	20, 21	mpan2 698	. . . 4 |- (0 < (B^2) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
23	16, 22, 14	3syl 20	. . 3 |- (B =/= 0 -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
24	15, 23	jaoi 341	. 2 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
25		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (A^2) = (0^2))
26		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (B = 0 -> (B^2) = (0^2))
27	25, 26	opreqan12d 3985	. . . . 5 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> ((A^2) + (B^2)) = ((0^2) + (0^2)))
28		2nn 6001	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
29		0expt 6591	. . . . . . . 8 |- (2 e. NN -> (0^2) = 0)
30	28, 29	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0^2) = 0
31	30, 30	opreq12i 3979	. . . . . 6 |- ((0^2) + (0^2)) = (0 + 0)
32		0cn 5340	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
33	32	addid1 5342	. . . . . 6 |- (0 + 0) = 0
34	31, 33	eqtr 1498	. . . . 5 |- ((0^2) + (0^2)) = 0
35	27, 34	syl6eq 1526	. . . 4 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> ((A^2) + (B^2)) = 0)
36	35	con3i 98	. . 3 |- (-. ((A^2) + (B^2)) = 0 -> -. (A = 0 /\ B = 0))
37		df-ne 1590	. . 3 |- (((A^2) + (B^2)) =/= 0 <-> -. ((A^2) + (B^2)) = 0)
38		neorian 1643	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
39	36, 37, 38	3imtr4 219	. 2 |- (((A^2) + (B^2)) =/= 0 -> (A =/= 0 \/ B =/= 0))
40	24, 39	impbi 157	1 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498  2c2 5963  ^cexp 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain