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Theorem sumss 12197
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
sumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
sumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
sumss.4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
sumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 sumss.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 sumss.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
53, 4sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
7 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ k
m
8 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
98, 7nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )
10 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  m  e.  A
11 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  C )
1211, 7nffv 5532 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )
13 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
0
1410, 12, 13nfif 3589 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
159, 14nfeq 2426 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
16 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `
 m ) )
17 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
18 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
19 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  0  =  0 )
2017, 18, 19ifbieq12d 3587 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) )
2116, 20eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  <->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
2322fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
24 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
2524fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  (  _I  `  C ) )
2623, 25sylan9eq 2335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  C ) )
27 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2928fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  (  _I 
`  C ) )
3027, 29eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
3226, 31eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
33 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
3433fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
(  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
35 0z 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
36 fvi 5579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
3735, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
3834, 37syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
(  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  0 )
3923, 38sylan9eq 2335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  0 )
40 iffalse 3572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
4140adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 )
4239, 41eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 ) )
4332, 42pm2.61dan 766 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
447, 15, 21, 43vtoclgaf 2848 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
4544adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
46 sumss.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
4746, 28fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
4847adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
49 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
5048, 49sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
511, 2, 6, 45, 50zsum 12191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
524adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
53 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
54 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  m  e.  B
55 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( k  e.  B  |->  C )
5655, 7nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )
5754, 56, 13nfif 3589 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
589, 57nfeq 2426 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
5953, 58nfim 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
60 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  B  <->  m  e.  B ) )
61 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
6260, 61, 19ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) )
6316, 62eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  <->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) )
6463imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( ( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) ) )
6526adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  C ) )
663adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  C_  B
)
6766sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  B )
68 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) )
69 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
7069fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  k
)  =  (  _I 
`  C ) )
7168, 70eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
7267, 71syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
7365, 72eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
7439adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  0 )
7571ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
76 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
77 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
7877fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  (  _I  `  C )  =  (  _I  `  0 ) )
79 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
80 fvi 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
8278, 81syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  (  _I  `  C )  =  0 )
8376, 82sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  -> 
(  _I  `  C
)  =  0 )
8475, 83eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8584expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
86 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8786adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8887a1d 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
8985, 88pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if (
k  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 ) )
9190imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
9274, 91eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
9373, 92pm2.61dan 766 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
9493expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 ) ) )
957, 59, 64, 94vtoclgaf 2848 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) ) )
9695impcom 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
9796adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
9846ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
9998adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
10077, 79syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
10176, 100sylan2br 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
102101expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
10399, 102pm2.61d 150 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
104103, 69fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
105104adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
106 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC  /\  m  e.  B
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  e.  CC )
107105, 106sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1081, 2, 52, 97, 107zsum 12191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10951, 108eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
110 sumfc 12182 . . 3  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
111 sumfc 12182 . . 3  |-  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
112109, 110, 1113eqtr3g 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
1133adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
114 uzf 10233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
115114fdmi 5394 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
116115eleq2i 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  <->  M  e.  ZZ )
117 ndmfv 5552 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
118116, 117sylnbir 298 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ZZ>= `  M )  =  (/) )
119118sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( B  C_  ( ZZ>= `  M )  <->  B  C_  (/) ) )
1204, 119syl5ib 210 . . . . . . 7  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ph  ->  B  C_  (/) ) )
121120impcom 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  (/) )
122113, 121sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  (/) )
123 ss0 3485 . . . . 5  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
124122, 123syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  (/) )
125 ss0 3485 . . . . 5  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
126121, 125syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  =  (/) )
127124, 126eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
128127sumeq1d 12174 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
129112, 128pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625    e. cmpt 4077    _I cid 4304   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  fsumss  12198  sumss2  12199  binomlem  12287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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