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Theorem sup2 9966
Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
sup2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem sup2
StepHypRef Expression
1 peano2re 9241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
21adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR ) )
4 ssel 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
5 ltp1 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
61ancli 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR ) )
7 lttr 9154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( y  < 
x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
873expb 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( (
y  <  x  /\  x  <  ( x  + 
1 ) )  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) )
96, 8sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
105, 9sylan2i 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  /\  x  e.  RR )  ->  y  < 
( x  +  1 ) ) )
1110exp4b 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
( x  e.  RR  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
1211com34 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
1312pm2.43d 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
1413imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
15 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <  ( x  +  1 )  <->  x  <  ( x  +  1 ) ) )
165, 15syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  =  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) )
1716adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  =  x  ->  y  <  (
x  +  1 ) ) )
1814, 17jaod 371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
1918ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
204, 19syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
2120com23 75 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
2221imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2322a2d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( y  <  x  \/  y  =  x
) )  ->  (
y  e.  A  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2423ralimdv2 2788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2524expimpd 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
263, 25jcad 521 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( (
x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
27 ovex 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +  1 )  e. 
_V
28 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
z  e.  RR  <->  ( x  +  1 )  e.  RR ) )
29 breq2 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
3029ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  A  y  <  z  <->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
3128, 30anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z )  <->  ( (
x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
3227, 31spcev 3045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  + 
1 ) )  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z ) )
3326, 32syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. z
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z ) ) )
3433exlimdv 1647 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z ) ) )
35 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
36 breq2 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
3736ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <  z  <->  A. y  e.  A  y  <  x ) )
3835, 37anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) ) )
3938cbvexv 1986 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z )  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4034, 39syl6ib 219 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) ) )
41 df-rex 2713 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
42 df-rex 2713 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4340, 41, 423imtr4g 263 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4443adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4544imdistani 673 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )
)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
46 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  <->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
47 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  <->  ( ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
) )
4845, 46, 473imtr4i 259 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  -> 
( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
49 axsup 9153 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
5048, 49syl 16 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122
This theorem is referenced by:  sup3  9967  nnunb  10219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296
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