MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sup3 Unicode version

Theorem sup3 9727
Description: A version of the completeness axiom for reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
sup3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem sup3
StepHypRef Expression
1 ssel 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
2 leloe 8924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
32expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  RR  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) ) )
41, 3syl9 66 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  A  -> 
( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) ) ) )
54imp31 421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) ) )
65ralbidva 2572 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
76rexbidva 2573 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
87anbi2d 684 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  <->  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) ) ) )
98pm5.32i 618 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )  <->  ( A  C_  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) ) ) )
10 3anass 938 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  <->  ( A  C_  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) ) )
11 3anass 938 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  <->  ( A  C_  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) ) ) )
129, 10, 113bitr4i 268 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  <->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
13 sup2 9726 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
1412, 13sylbi 187 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  infm3  9729  suprcl  9730  suprub  9731  suprlub  9732  sup3ii  9739  xrsupsslem  10641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator