Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supcvg Unicode version

Theorem supcvg 12314
 Description: Extract a sequence in such that the image of the points in the bounded set converges to the supremum of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 8061. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1
supcvg.2
supcvg.3
supcvg.4
supcvg.5
supcvg.6
supcvg.7
Assertion
Ref Expression
supcvg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12
21oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11
4 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11
52, 3, 4fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10
65adantl 452 . . . . . . . . 9
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 feq3 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1412, 13syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 f00 5426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1615simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1714, 16syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817necon3d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14
199, 18mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13
218, 19, 203jca 1132 . . . . . . . . . . . 12
22 suprcl 9714 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11
247, 23syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10
25 nnrp 10363 . . . . . . . . . . 11
2625rpreccld 10400 . . . . . . . . . 10
27 ltsubrp 10385 . . . . . . . . . 10
2824, 26, 27syl2an 463 . . . . . . . . 9
296, 28eqbrtrd 4043 . . . . . . . 8
3029, 7syl6breq 4062 . . . . . . 7
3121adantr 451 . . . . . . . 8
32 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . 11
33 resubcl 9111 . . . . . . . . . . 11
3424, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . . . 10
3534, 3fmptd 5684 . . . . . . . . 9
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
3735, 36sylan 457 . . . . . . . 8
38 suprlub 9716 . . . . . . . 8
3931, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . 7
4030, 39mpbid 201 . . . . . 6
4137adantr 451 . . . . . . . 8
428adantr 451 . . . . . . . . 9
4342sselda 3180 . . . . . . . 8
44 ltle 8910 . . . . . . . 8
4541, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . 7
4645reximdva 2655 . . . . . 6
4740, 46mpd 14 . . . . 5
48 forn 5454 . . . . . . . . 9
4910, 48syl 15 . . . . . . . 8
5049rexeqdv 2743 . . . . . . 7
51 ffn 5389 . . . . . . . 8
52 breq2 4027 . . . . . . . . 9
5352rexrn 5667 . . . . . . . 8
5412, 51, 533syl 18 . . . . . . 7
5550, 54bitr3d 246 . . . . . 6
5655adantr 451 . . . . 5
5747, 56mpbid 201 . . . 4
5857ralrimiva 2626 . . 3
59 supcvg.1 . . . 4
60 nnenom 11042 . . . 4
61 fveq2 5525 . . . . 5
6261breq2d 4035 . . . 4
6359, 60, 62axcc4 8065 . . 3
6458, 63syl 15 . 2
65 nnuz 10263 . . . . . 6
66 1z 10053 . . . . . . 7
6766a1i 10 . . . . . 6
6866a1i 10 . . . . . . . . 9
6924recnd 8861 . . . . . . . . . 10
7065eqimss2i 3233 . . . . . . . . . . 11
71 nnex 9752 . . . . . . . . . . 11
7270, 71climconst2 12022 . . . . . . . . . 10
7369, 66, 72sylancl 643 . . . . . . . . 9
7471mptex 5746 . . . . . . . . . . 11
753, 74eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10
7675a1i 10 . . . . . . . . 9
77 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10
78 divcnv 12312 . . . . . . . . . 10
7977, 78mp1i 11 . . . . . . . . 9
80 fvconst2g 5727 . . . . . . . . . . 11
8124, 80sylan 457 . . . . . . . . . 10
8269adantr 451 . . . . . . . . . 10
8381, 82eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9
84 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
85 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12
861, 84, 85fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11
8786adantl 452 . . . . . . . . . 10
88 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . 12
8988recnd 8861 . . . . . . . . . . 11
9089adantl 452 . . . . . . . . . 10
9187, 90eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9
9281, 87oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10
936, 92eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9
9465, 68, 73, 76, 79, 83, 91, 93climsub 12107 . . . . . . . 8
9569subid1d 9146 . . . . . . . 8
9694, 95breqtrd 4047 . . . . . . 7
9796ad2antrr 706 . . . . . 6
9812ad2antrr 706 . . . . . . . 8
99 fex 5749 . . . . . . . 8
10098, 59, 99sylancl 643 . . . . . . 7
101 vex 2791 . . . . . . 7
102 coexg 5215 . . . . . . 7
103100, 101, 102sylancl 643 . . . . . 6
10435ad2antrr 706 . . . . . . 7
105 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
106104, 105sylan 457 . . . . . 6
107 fss 5397 . . . . . . . . . 10
10812, 8, 107syl2anc 642 . . . . . . . . 9
109 fco 5398 . . . . . . . . 9
110108, 109sylan 457 . . . . . . . 8
111110adantr 451 . . . . . . 7
112 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
113111, 112sylan 457 . . . . . 6
114 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
115 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
116115fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10
117114, 116breq12d 4036 . . . . . . . . 9
118117rspccva 2883 . . . . . . . 8
119118adantll 694 . . . . . . 7
120 simplr 731 . . . . . . . 8
121 fvco3 5596 . . . . . . . 8
122120, 121sylan 457 . . . . . . 7
123119, 122breqtrrd 4049 . . . . . 6
12421ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9
125 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11
126120, 125sylan 457 . . . . . . . . . 10
127 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11
12898, 127sylan 457 . . . . . . . . . 10
129126, 128syldan 456 . . . . . . . . 9
130 suprub 9715 . . . . . . . . 9
131124, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . 8
132131, 7syl6breqr 4063 . . . . . . 7
133122, 132eqbrtrd 4043 . . . . . 6
13465, 67, 97, 103, 106, 113, 123, 133climsqz 12114 . . . . 5
135134ex 423 . . . 4
136135imdistanda 674 . . 3
137136eximdv 1608 . 2
13864, 137mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  csn 3640   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cxp 4687   crn 4690   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  wfo 5253  cfv 5255  (class class class)co 5858  csup 7193  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   clt 8867   cle 8868   cmin 9037   cdiv 9423  cn 9746  cz 10024  cuz 10230  crp 10354   cli 11958 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963
 Copyright terms: Public domain W3C validator