Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supdef Unicode version

Theorem supdef 25365
Description: If it exists, a supremum of  A is greater or equal to every element of  A and is the least upper bound of  A. Here the existence of the supremum is expressed by the idiom  ( R  sup w  A
)  e.  X. (Contributed by FL, 23-May-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
supdef.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
supdef  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A
)  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    y, R, z    y, X
Allowed substitution hints:    W( y, z)    X( z)

Proof of Theorem supdef
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supdef.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
21spwval 14350 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
323adant3 975 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( R  sup w  A )  =  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
4 dmexg 4955 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
51, 4syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  e.  _V )
653ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  ->  X  e.  _V )
7 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( R  sup w  A )  e.  X
)
83, 7eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X )
9 riotaclbg 6360 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
109biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X )  ->  E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
116, 8, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  ->  E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
12 riotacl2 6334 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  { x  e.  X  |  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) } )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  { x  e.  X  |  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) } )
143, 13eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( R  sup w  A )  e.  {
x  e.  X  | 
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) } )
15 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  (
y R x  <->  y R
( R  sup w  A ) ) )
1615ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  ( A. y  e.  A  y R x  <->  A. y  e.  A  y R
( R  sup w  A ) ) )
17 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  (
x R y  <->  ( R  sup w  A ) R y ) )
1817imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  (
( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
1918ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
2016, 19anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  (
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) )  <->  ( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A )  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) ) )
2120elrab 2936 . . 3  |-  ( ( R  sup w  A
)  e.  { x  e.  X  |  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) }  <->  ( ( R  sup w  A )  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A )  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) ) )
2221simprbi 450 . 2  |-  ( ( R  sup w  A
)  e.  { x  e.  X  |  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) }  ->  ( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A )  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
2314, 22syl 15 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A
)  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E!wreu 2558   {crab 2560   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   dom cdm 4705  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   PosetRelcps 14317    sup
w cspw 14319
This theorem is referenced by:  supdefa  25366  defge3  25374  supaub  25376  supwlub  25377  supnuf  25732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-undef 6314  df-riota 6320  df-ps 14322  df-spw 14324
  Copyright terms: Public domain W3C validator