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Theorem supdef 25262
Description: If it exists, a supremum of  A is greater or equal to every element of  A and is the least upper bound of  A. Here the existence of the supremum is expressed by the idiom  ( R  sup w  A
)  e.  X. (Contributed by FL, 23-May-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
supdef.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
supdef  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A
)  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    y, R, z    y, X
Allowed substitution hints:    W( y, z)    X( z)

Proof of Theorem supdef
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supdef.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
21spwval 14334 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W )  ->  ( R  sup w  A )  =  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
323adant3 975 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( R  sup w  A )  =  (
iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) ) )
4 dmexg 4939 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
51, 4syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  e.  _V )
653ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  ->  X  e.  _V )
7 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( R  sup w  A )  e.  X
)
83, 7eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X )
9 riotaclbg 6344 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  <-> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X ) )
109biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  X )  ->  E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
116, 8, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  ->  E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) )
12 riotacl2 6318 . . . 4  |-  ( E! x  e.  X  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) )  ->  ( iota_ x  e.  X ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  { x  e.  X  |  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) } )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( iota_ x  e.  X
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) )  e.  { x  e.  X  |  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) } )
143, 13eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( R  sup w  A )  e.  {
x  e.  X  | 
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) ) } )
15 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  (
y R x  <->  y R
( R  sup w  A ) ) )
1615ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  ( A. y  e.  A  y R x  <->  A. y  e.  A  y R
( R  sup w  A ) ) )
17 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  (
x R y  <->  ( R  sup w  A ) R y ) )
1817imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  (
( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
1918ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  ( A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y )  <->  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
2016, 19anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  ( R  sup w  A )  ->  (
( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R
y  ->  x R
y ) )  <->  ( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A )  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) ) )
2120elrab 2923 . . 3  |-  ( ( R  sup w  A
)  e.  { x  e.  X  |  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) }  <->  ( ( R  sup w  A )  e.  X  /\  ( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A )  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) ) )
2221simprbi 450 . 2  |-  ( ( R  sup w  A
)  e.  { x  e.  X  |  ( A. y  e.  A  y R x  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  x R y ) ) }  ->  ( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A )  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
2314, 22syl 15 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  W  /\  ( R  sup w  A )  e.  X )  -> 
( A. y  e.  A  y R ( R  sup w  A
)  /\  A. y  e.  X  ( A. z  e.  A  z R y  ->  ( R  sup w  A ) R y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E!wreu 2545   {crab 2547   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   PosetRelcps 14301    sup
w cspw 14303
This theorem is referenced by:  supdefa  25263  defge3  25271  supaub  25273  supwlub  25274  supnuf  25629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-undef 6298  df-riota 6304  df-ps 14306  df-spw 14308
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