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Theorem supeq2 7291
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
supeq2  |-  ( B  =  C  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  C ,  R ) )

Proof of Theorem supeq2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabeq 2858 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
2 raleq 2812 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) )
32anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
43rabbidv 2856 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
51, 4eqtrd 2390 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
65unieqd 3919 . 2  |-  ( B  =  C  ->  U. {
x  e.  B  | 
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
7 df-sup 7284 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  R )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
8 df-sup 7284 . 2  |-  sup ( A ,  C ,  R )  =  U. { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
96, 7, 83eqtr4g 2415 1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  C ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623   U.cuni 3908   class class class wbr 4104   supcsup 7283
This theorem is referenced by:  supeq2OLD  25742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-uni 3909  df-sup 7284
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