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Theorem supeq2 7201
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
supeq2  |-  ( B  =  C  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  C ,  R ) )

Proof of Theorem supeq2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabeq 2782 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
2 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) )
32anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
43rabbidv 2780 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
51, 4eqtrd 2315 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
65unieqd 3838 . 2  |-  ( B  =  C  ->  U. {
x  e.  B  | 
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
7 df-sup 7194 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  R )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
8 df-sup 7194 . 2  |-  sup ( A ,  C ,  R )  =  U. { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
96, 7, 83eqtr4g 2340 1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  C ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   supcsup 7193
This theorem is referenced by:  supeq2OLD  26418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-uni 3828  df-sup 7194
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