Theorem supexpr 5175

Description: The union of a non-empty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
supexpr	|- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem supexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . 4 |- (x = U.A -> (x e. P. <-> U.A e. P.))
2		breq1 2627	. . . . . . . . 9 |- (x = U.A -> (x <P y <-> U.A <P y))
3	2	negbid 613	. . . . . . . 8 |- (x = U.A -> (-. x <P y <-> -. U.A <P y))
4	3	imbi2d 614	. . . . . . 7 |- (x = U.A -> ((y e. A -> -. x <P y) <-> (y e. A -> -. U.A <P y)))
5		breq2 2628	. . . . . . . 8 |- (x = U.A -> (y <P x <-> y <P U.A))
6	5	imbi1d 615	. . . . . . 7 |- (x = U.A -> ((y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))) <-> (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))
7	4, 6	anbi12d 630	. . . . . 6 |- (x = U.A -> (((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))) <-> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))
8	7	imbi2d 614	. . . . 5 |- (x = U.A -> ((y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))) <-> (y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))
9	8	albidv 1280	. . . 4 |- (x = U.A -> (A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))) <-> A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))
10	1, 9	anbi12d 630	. . 3 |- (x = U.A -> ((x e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))) <-> (U.A e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))))
11	10	cla4egv 1866	. 2 |- (U.A e. P. -> ((U.A e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))) -> E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))))
12		suplem1pr 5173	. 2 |- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> U.A e. P.)
13		suplem2pr 5174	. . . . . 6 |- (A (_ P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))
14	13	a1d 12	. . . . 5 |- (A (_ P. -> (y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))
15	14	19.21aiv 1288	. . . 4 |- (A (_ P. -> A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))
16	15	ad2antrr 406	. . 3 |- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))
17	12, 16	jca 288	. 2 |- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> (U.A e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))
18	11, 12, 17	sylc 68	1 |- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   (_ wss 2050  (/)c0 2283  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  P.cnp 4997   <P cltp 5001

This theorem is referenced by:  suppsr 5234

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-mi 5014  df-lti 5015  df-enq 5049  df-nq 5050  df-ltq 5054  df-np 5098  df-ltp 5102

Copyright terms: Public domain