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Theorem supexr 25631
Description: Two ways to express the supremum of a set of extended reals. (Contributed by FL, 25-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
supexr  |-  ( A 
C_  RR*  ->  (  <_  sup
w  A )  =  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem supexr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 14349 . . . . 5  |-  <_  e.  TosetRel
2 tsrps 14330 . . . . 5  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  <_  e.  PosetRel
4 xrsupss 10627 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
5 ssel 3174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
6 xrlenlt 8890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
76ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) ) )
85, 7syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) ) ) )
98com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) ) ) )
109imp31 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
1110ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
12 con34b 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y )  <->  ( -.  x  <_  y  ->  -.  A. z  e.  A  z  <_  y ) )
13 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
1413ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
1514bicomd 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  x  <_  y  <->  y  <  x ) )
1615adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  x  <_  y  <->  y  <  x ) )
17 rexnal 2554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  A  -.  z  <_  y  <->  -.  A. z  e.  A  z  <_  y )
18 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  z  e. 
RR* ) )
19 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
y  <  z  <->  -.  z  <_  y ) )
2019ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  z  <->  -.  z  <_  y ) )
2120bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  z  <_  y  <->  y  <  z ) )
2221ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( -.  z  <_  y  <->  y  <  z ) ) )
2318, 22syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( -.  z  <_  y  <->  y  <  z ) ) ) )
2423com23 72 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  ( -.  z  <_  y  <->  y  <  z ) ) ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  RR*  ->  ( z  e.  A  -> 
( -.  z  <_ 
y  <->  y  <  z
) ) ) )
2625imp31 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR* 
/\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A
)  ->  ( -.  z  <_  y  <->  y  <  z ) )
2726rexbidva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( E. z  e.  A  -.  z  <_  y  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2817, 27syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  A. z  e.  A  z  <_  y  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2916, 28imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -.  x  <_ 
y  ->  -.  A. z  e.  A  z  <_  y )  <->  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
3012, 29syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
3130ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
3211, 31anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
3332rexbidva 2560 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
344, 33mpbird 223 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e. 
RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) )
35 biid 227 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) )
3635spweu 14336 . . . 4  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) )  ->  E! x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
373, 34, 36sylancr 644 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E! x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e. 
RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) )
38 riotauni 6311 . . 3  |-  ( E! x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  ->  ( iota_ x  e.  RR* ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )  = 
U. { x  e. 
RR*  |  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) } )
3937, 38syl 15 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( iota_ x  e.  RR* ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e. 
RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) )  = 
U. { x  e. 
RR*  |  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) } )
40 xrex 10351 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
4140ssex 4158 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A  e.  _V )
42 lefld 14348 . . . 4  |-  RR*  =  U. U.  <_
4342spwval2 14333 . . 3  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  A  e.  _V )  ->  (  <_  sup w  A )  =  ( iota_ x  e. 
RR* ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e. 
RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) ) )
443, 41, 43sylancr 644 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  (  <_  sup
w  A )  =  ( iota_ x  e.  RR* ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
4532rabbidva 2779 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  { x  e.  RR*  |  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) }  =  { x  e.  RR*  |  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) } )
4645unieqd 3838 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  U. { x  e.  RR*  |  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) }  =  U. { x  e.  RR*  |  ( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) } )
47 df-sup 7194 . . 3  |-  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  U. { x  e.  RR*  |  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) }
4846, 47syl6reqr 2334 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  U. { x  e.  RR*  |  ( A. y  e.  A  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  A  z  <_  y  ->  x  <_  y
) ) } )
4939, 44, 483eqtr4d 2325 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  (  <_  sup
w  A )  =  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   supcsup 7193   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   PosetRelcps 14301    TosetRel ctsr 14302    sup
w cspw 14303
This theorem is referenced by:  supbrr  25636
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-spw 14308
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