Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supfz Structured version   Unicode version

Theorem supfz 25201
Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
supfz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )

Proof of Theorem supfz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10291 . . . 4  |-  ZZ  C_  RR
2 ltso 9158 . . . 4  |-  <  Or  RR
3 soss 4523 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  ZZ ) )
41, 2, 3mp2 9 . . 3  |-  <  Or  ZZ
54a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  <  Or  ZZ )
6 eluzelz 10498 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzfz2 11067 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 elfzle2 11063 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  <_  N )
98adantl 454 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  x  <_  N )
10 elfzelz 11061 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
1110zred 10377 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
12 eluzelre 10499 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
13 lenlt 9156 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( x  <_  N  <->  -.  N  <  x ) )
1411, 12, 13syl2anr 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  (
x  <_  N  <->  -.  N  <  x ) )
159, 14mpbid 203 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  N  <  x )
165, 6, 7, 15supmax 7472 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    Or wor 4504   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   RRcr 8991    < clt 9122    <_ cle 9123   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-neg 9296  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046
  Copyright terms: Public domain W3C validator