Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supiso Structured version   Unicode version

Theorem supiso 7478
 Description: Image of a supremum under an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1
supiso.2
supisoex.3
supiso.4
Assertion
Ref Expression
supiso
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem supiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supiso.4 . . 3
2 supiso.1 . . . 4
3 isoso 6069 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
51, 4mpbid 203 . 2
6 isof1o 6046 . . . 4
7 f1of 5675 . . . 4
82, 6, 73syl 19 . . 3
9 supisoex.3 . . . 4
101, 9supcl 7464 . . 3
118, 10ffvelrnd 5872 . 2
121, 9supub 7465 . . . . . 6
1312ralrimiv 2789 . . . . 5
141, 9suplub 7466 . . . . . . 7
1514exp3a 427 . . . . . 6
1615ralrimiv 2789 . . . . 5
17 supiso.2 . . . . . . 7
182, 17supisolem 7476 . . . . . 6
1910, 18mpdan 651 . . . . 5
2013, 16, 19mpbi2and 889 . . . 4
2120simpld 447 . . 3
2221r19.21bi 2805 . 2
2320simprd 451 . . . 4
2423r19.21bi 2805 . . 3
2524impr 604 . 2
265, 11, 22, 25eqsupd 7463 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  wrex 2707   wss 3321   class class class wbr 4213   wor 4503  cima 4882  wf 5451  wf1o 5454  cfv 5455   wiso 5456  csup 7446 This theorem is referenced by:  infmsup  9987 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-riota 6550  df-sup 7447
 Copyright terms: Public domain W3C validator