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Theorem supisoex 7238
Description: Lemma for supiso 7239. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
supiso.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
supisoex.3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supisoex  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, C, v, w, x, y, z    ph, u, w    u, F, v, w, x, y, z    u, R, w, x, y, z   
u, S, v, w, x, y, z    u, B, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, v)    R( v)

Proof of Theorem supisoex
StepHypRef Expression
1 supisoex.3 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
2 supiso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
3 supiso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
4 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
5 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
64, 5supisolem 7237 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
7 isof1o 5838 . . . . . . . 8  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
8 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
94, 7, 83syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F : A --> B )
10 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
119, 10sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
12 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
u S w  <->  ( F `  x ) S w ) )
1312notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( -.  u S w  <->  -.  ( F `  x ) S w ) )
1413ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  <->  A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w ) )
15 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
w S u  <->  w S
( F `  x
) ) )
1615imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <-> 
( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1716ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1814, 17anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
1918rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x
)  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
2019ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  B  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2111, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
226, 21sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2322rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
242, 3, 23syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
251, 24mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   "cima 4708   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    Isom wiso 5272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280
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