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Theorem supisoex 7468
Description: Lemma for supiso 7469. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
supiso.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
supisoex.3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supisoex  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, C, v, w, x, y, z    ph, u, w    u, F, v, w, x, y, z    u, R, w, x, y, z   
u, S, v, w, x, y, z    u, B, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, v)    R( v)

Proof of Theorem supisoex
StepHypRef Expression
1 supisoex.3 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
2 supiso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
3 supiso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
4 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
5 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
64, 5supisolem 7467 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
7 isof1o 6037 . . . . . . . 8  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
8 f1of 5666 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
94, 7, 83syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F : A --> B )
109ffvelrnda 5862 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
11 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
u S w  <->  ( F `  x ) S w ) )
1211notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( -.  u S w  <->  -.  ( F `  x ) S w ) )
1312ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  <->  A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w ) )
14 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
w S u  <->  w S
( F `  x
) ) )
1514imbi1d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <-> 
( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1615ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1713, 16anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
1817rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x
)  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
1918ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  B  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
216, 20sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2221rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
232, 3, 22syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
241, 23mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   "cima 4873   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446    Isom wiso 5447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455
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