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Theorem supisolem 7221
Description: Lemma for supiso 7223. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
supiso.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
supisolem  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v,
y, z, A    v, C, w, y, z    w, D, y, z    ph, w    v, F, w, y, z   
w, R, y, z   
v, S, w, y, z    v, B, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v)    D( v)    R( v)

Proof of Theorem supisolem
StepHypRef Expression
1 supiso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
2 supiso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A ) )
4 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
54adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
6 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  D  e.  A )
7 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  C  C_  A )
87sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  y  e.  A )
9 isorel 5823 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( D  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( D R y  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
105, 6, 8, 9syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  ( D R y  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1110notbid 285 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  ( -.  D R y  <->  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1211ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  C  -.  D R y  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
13 isof1o 5822 . . . . . . 7  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
144, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
15 f1ofn 5473 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  A )
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F  Fn  A )
17 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  D
) S w  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1817notbid 285 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( F `  D
) S w  <->  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1918ralima 5758 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 D ) S w  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D
) S ( F `
 y ) ) )
2016, 7, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D
) S w  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
2112, 20bitr4d 247 . . 3  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  C  -.  D R y  <->  A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 D ) S w ) )
224adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
23 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
24 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  D  e.  A )
25 isorel 5823 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
y  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( y R D  <->  ( F `  y ) S ( F `  D ) ) )
2622, 23, 24, 25syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y R D  <->  ( F `  y ) S ( F `  D ) ) )
2722adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
28 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  y  e.  A )
297adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  C  C_  A
)
3029sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  A )
31 isorel 5823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y R z  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3227, 28, 30, 31syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  (
y R z  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3332rexbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  C  y R z  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3416adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  F  Fn  A )
35 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) S v  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3635rexima 5757 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3734, 29, 36syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. v  e.  ( F " C ) ( F `
 y ) S v  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3833, 37bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  C  y R z  <->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) )
3926, 38imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) ) )
4039ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) ) )
41 f1ofo 5479 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
42 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) S ( F `
 D )  <->  w S
( F `  D
) ) )
43 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) S v  <->  w S
v ) )
4443rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  ( E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y ) S v  <->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )
4542, 44imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y
) S v )  <-> 
( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4645cbvfo 5799 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. y  e.  A  ( ( F `
 y ) S ( F `  D
)  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4714, 41, 463syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y
) S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4840, 47bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
4921, 48anbi12d 691 . 2  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
503, 49sylan 457 1  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   "cima 4692    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256
This theorem is referenced by:  supisoex  7222  supiso  7223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264
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