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Theorem suplem2pr 8930
Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (the least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem2pr  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Distinct variable group:    y, z, A

Proof of Theorem suplem2pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 8875 . . . . . 6  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4926 . . . . 5  |-  ( y 
<P  U. A  ->  (
y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )
)
32simpld 446 . . . 4  |-  ( y 
<P  U. A  ->  y  e.  P. )
4 ralnex 2715 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  -.  y  <P  z  <->  -.  E. z  e.  A  y  <P  z )
5 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  P. )
6 ltsopr 8909 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <P  Or  P.
7 sotric 4529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
<P  Or  P.  /\  (
y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( y  <P  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  z  <P  y ) ) )
86, 7mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  <P  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  z  <P  y
) ) )
98con2bid 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  -.  y  <P  z ) )
109ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  -.  y  <P  z ) )
11 ltprord 8907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( z  <P  y  <->  z 
C.  y ) )
1211orbi2d 683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y ) ) )
13 sspss 3446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  C.  y  \/  z  =  y ) )
14 equcom 1692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
1514orbi2i 506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  C.  y  \/  z  =  y )  <-> 
( z  C.  y  \/  y  =  z
) )
16 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  C.  y  \/  y  =  z )  <-> 
( y  =  z  \/  z  C.  y
) )
1713, 15, 163bitri 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  y  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y ) )
1812, 17syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  z  C_  y ) )
1910, 18bitr3d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  y  <P 
z  <->  z  C_  y
) )
205, 19sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  y  <P  z  <->  z  C_  y
) )
2120an32s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  /\  z  e.  A
)  ->  ( -.  y  <P  z  <->  z  C_  y ) )
2221ralbidva 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( A. z  e.  A  -.  y  <P  z  <->  A. z  e.  A  z  C_  y ) )
234, 22syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  <->  A. z  e.  A  z  C_  y ) )
24 unissb 4045 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  y  <->  A. z  e.  A  z  C_  y )
2523, 24syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  <->  U. A  C_  y ) )
26 ssnpss 3450 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  y  ->  -.  y  C.  U. A )
27 ltprord 8907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )  ->  ( y  <P  U. A  <->  y 
C.  U. A ) )
2827biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )  ->  ( y  <P  U. A  ->  y  C.  U. A
) )
292, 28mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  U. A  ->  y  C.  U. A )
3026, 29nsyl 115 . . . . . . 7  |-  ( U. A  C_  y  ->  -.  y  <P  U. A )
3125, 30syl6bi 220 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  ->  -.  y  <P  U. A ) )
3231con4d 99 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
3332ex 424 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y  e.  P.  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
343, 33syl5 30 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
3534pm2.43d 46 . 2  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
36 elssuni 4043 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
37 ssnpss 3450 . . . 4  |-  ( y 
C_  U. A  ->  -.  U. A  C.  y )
3836, 37syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  C.  y )
391brel 4926 . . . 4  |-  ( U. A  <P  y  ->  ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)
40 ltprord 8907 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( U. A  <P  y  <->  U. A  C.  y ) )
4140biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( U. A  <P  y  ->  U. A  C.  y
) )
4239, 41mpcom 34 . . 3  |-  ( U. A  <P  y  ->  U. A  C.  y )
4338, 42nsyl 115 . 2  |-  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y )
4435, 43jctil 524 1  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320    C. wpss 3321   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    Or wor 4502   P.cnp 8734    <P cltp 8738
This theorem is referenced by:  supexpr  8931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ni 8749  df-mi 8751  df-lti 8752  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-ltp 8862
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