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Theorem suplub 7227
Description: A supremum is the least upper bound. See also supcl 7225 and supub 7226. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
supcl.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplub  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R )
)  ->  E. z  e.  B  C R
z ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, B, y, z    z, C
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    C( x, y)

Proof of Theorem suplub
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
2 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y R x  <->  w R x ) )
3 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y R z  <->  w R
z ) )
43rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  w R
z ) )
52, 4imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
65cbvralv 2777 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
71, 6sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) )
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  ->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
98ss2rabi 3268 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  C_  { x  e.  A  |  A. w  e.  A  (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }
10 supmo.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
11 supcl.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1210, 11supval2 7222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1310, 11supeu 7221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
14 riotacl2 6334 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
1513, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
1612, 15eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
179, 16sseldi 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) } )
18 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( w R x  <->  w R sup ( B ,  A ,  R ) ) )
1918imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z )  <->  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
2019ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. w  e.  A  (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z )  <->  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
2120elrab 2936 . . . 4  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }  <-> 
( sup ( B ,  A ,  R
)  e.  A  /\  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
2221simprbi 450 . . 3  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }  ->  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
2317, 22syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
24 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  <->  C R sup ( B ,  A ,  R ) ) )
25 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( w  =  C  ->  (
w R z  <->  C R
z ) )
2625rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  ( E. z  e.  B  w R z  <->  E. z  e.  B  C R
z ) )
2724, 26imbi12d 311 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  (
( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  <->  ( C R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  C R z ) ) )
2827rspccv 2894 . . 3  |-  ( A. w  e.  A  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  ->  ( C  e.  A  ->  ( C R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  C R
z ) ) )
2928imp3a 420 . 2  |-  ( A. w  e.  A  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  ->  (
( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R ) )  ->  E. z  e.  B  C R z ) )
3023, 29syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R )
)  ->  E. z  e.  B  C R
z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   {crab 2560   class class class wbr 4039    Or wor 4329   iota_crio 6313   supcsup 7209
This theorem is referenced by:  suplub2  7228  supnub  7229  supiso  7239  supxrun  10650  supxrunb1  10654  supxrunb2  10655  gtinf  26337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-po 4330  df-so 4331  df-iota 5235  df-riota 6320  df-sup 7210
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