MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmaxlem Unicode version

Theorem supmaxlem 7231
Description: A set that contains the greatest element satisfies the antecedent in supremum theorems. This allows  sup ( A ,  B ,  R ) to be used in some situations without the completeness axiom. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
supmaxlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, z, B    x, C, y, z    x, R, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, z)

Proof of Theorem supmaxlem
StepHypRef Expression
1 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  (
y R z  <->  y R C ) )
21rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  B  /\  y R C )  ->  E. z  e.  B  y R z )
32ex 423 . . . . 5  |-  ( C  e.  B  ->  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
43ralrimivw 2640 . . . 4  |-  ( C  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
5 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( C R z  <->  C R
y ) )
65notbid 285 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  C R z  <->  -.  C R y ) )
76cbvralv 2777 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  -.  C R z  <->  A. y  e.  B  -.  C R y )
87biimpi 186 . . . 4  |-  ( A. z  e.  B  -.  C R z  ->  A. y  e.  B  -.  C R y )
94, 8anim12ci 550 . . 3  |-  ( ( C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  -> 
( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
10 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x R y  <->  C R
y ) )
1110notbid 285 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( -.  x R y  <->  -.  C R y ) )
1211ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  C R y ) )
13 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
y R x  <->  y R C ) )
1413imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1514ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1612, 15anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1716rspcev 2897 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
189, 17sylan2 460 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
19183impb 1147 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039
This theorem is referenced by:  supmax  7232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040
  Copyright terms: Public domain W3C validator