MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmaxlem Structured version   Unicode version

Theorem supmaxlem 7469
Description: A set that contains the greatest element satisfies the antecedent in supremum theorems. This allows  sup ( A ,  B ,  R ) to be used in some situations without the completeness axiom. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
supmaxlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, z, B    x, C, y, z    x, R, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, z)

Proof of Theorem supmaxlem
StepHypRef Expression
1 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  (
y R z  <->  y R C ) )
21rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  B  /\  y R C )  ->  E. z  e.  B  y R z )
32ex 424 . . . . 5  |-  ( C  e.  B  ->  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
43ralrimivw 2790 . . . 4  |-  ( C  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
5 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( C R z  <->  C R
y ) )
65notbid 286 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  C R z  <->  -.  C R y ) )
76cbvralv 2932 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  -.  C R z  <->  A. y  e.  B  -.  C R y )
87biimpi 187 . . . 4  |-  ( A. z  e.  B  -.  C R z  ->  A. y  e.  B  -.  C R y )
94, 8anim12ci 551 . . 3  |-  ( ( C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  -> 
( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
10 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x R y  <->  C R
y ) )
1110notbid 286 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( -.  x R y  <->  -.  C R y ) )
1211ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  C R y ) )
13 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
y R x  <->  y R C ) )
1413imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1514ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1612, 15anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1716rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
189, 17sylan2 461 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
19183impb 1149 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212
This theorem is referenced by:  supmax  7470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213
  Copyright terms: Public domain W3C validator