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Theorem supmo 7219
Description: Any class  B has at most one supremum in  A (where  R is interpreted as 'less than'). (Contributed by NM, 5-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Assertion
Ref Expression
supmo  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem supmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
2 ancom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  <->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) )
32anbi2ci 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) ) )
4 an42 798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
5 an42 798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) )  <-> 
( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) ) )
63, 4, 53bitr4i 268 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) ) )
7 ralnex 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  -.  E. y  e.  B  x R
y )
8 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y R w  <->  x R w ) )
9 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y R z  <->  x R
z ) )
109rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  x R
z ) )
118, 10imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( x R w  ->  E. z  e.  B  x R
z ) ) )
1211rspcva 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( x R w  ->  E. z  e.  B  x R
z ) )
13 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
x R y  <->  x R
z ) )
1413cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  x R y  <->  E. z  e.  B  x R
z )
1512, 14syl6ibr 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( x R w  ->  E. y  e.  B  x R
y ) )
1615con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( -.  E. y  e.  B  x R y  ->  -.  x R w ) )
177, 16syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  ->  -.  x R w ) )
1817expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  ->  -.  x R w ) )
1918ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  ->  -.  x R w ) )
20 ralnex 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  -.  w R y  <->  -.  E. y  e.  B  w R
y )
21 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y R x  <->  w R x ) )
22 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  (
y R z  <->  w R
z ) )
2322rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  w R
z ) )
2421, 23imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
2524rspcva 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
26 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w R y  <->  w R
z ) )
2726cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  w R y  <->  E. z  e.  B  w R
z )
2825, 27syl6ibr 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( w R x  ->  E. y  e.  B  w R
y ) )
2928con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( -.  E. y  e.  B  w R y  ->  -.  w R x ) )
3020, 29syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  ->  -.  w R x ) )
3130expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  ->  -.  w R x ) )
3231ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  ->  -.  w R x ) )
3319, 32anim12d 546 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
346, 33syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
35 sotrieq2 4358 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x  =  w  <->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
3634, 35sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
3736ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
381, 37syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
39 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
4039notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x R y  <->  -.  w R y ) )
4140ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  w R y ) )
42 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
y R x  <->  y R w ) )
4342imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
4443ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
4541, 44anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
4645rmo4 2971 . 2  |-  ( E* x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
4738, 46sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   E*wrmo 2559   class class class wbr 4039    Or wor 4329
This theorem is referenced by:  supexd  7220  supeu  7221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-po 4330  df-so 4331
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