Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul Unicode version

Theorem supmul 9738
 Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that , where is shorthand for and is defined as below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 8624). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1
supmul.2
Assertion
Ref Expression
supmul
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7
21simp2bi 971 . . . . . 6
3 suprcl 9730 . . . . . 6
42, 3syl 15 . . . . 5
51simp3bi 972 . . . . . 6
6 suprcl 9730 . . . . . 6
75, 6syl 15 . . . . 5
8 recn 8843 . . . . . 6
9 recn 8843 . . . . . 6
10 mulcom 8839 . . . . . 6
118, 9, 10syl2an 463 . . . . 5
124, 7, 11syl2anc 642 . . . 4
135simp2d 968 . . . . . . 7
14 n0 3477 . . . . . . 7
1513, 14sylib 188 . . . . . 6
16 0re 8854 . . . . . . . . . 10
1716a1i 10 . . . . . . . . 9
185simp1d 967 . . . . . . . . . 10
1918sselda 3193 . . . . . . . . 9
207adantr 451 . . . . . . . . 9
21 simp1r 980 . . . . . . . . . . . 12
221, 21sylbi 187 . . . . . . . . . . 11
23 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12
2423rspccv 2894 . . . . . . . . . . 11
2522, 24syl 15 . . . . . . . . . 10
2625imp 418 . . . . . . . . 9
27 suprub 9731 . . . . . . . . . 10
285, 27sylan 457 . . . . . . . . 9
2917, 19, 20, 26, 28letrd 8989 . . . . . . . 8
3029ex 423 . . . . . . 7
3130exlimdv 1626 . . . . . 6
3215, 31mpd 14 . . . . 5
33 simp1l 979 . . . . . 6
341, 33sylbi 187 . . . . 5
35 eqid 2296 . . . . . 6
36 biid 227 . . . . . 6
3735, 36supmul1 9735 . . . . 5
387, 32, 34, 2, 37syl31anc 1185 . . . 4
3912, 38eqtrd 2328 . . 3
40 vex 2804 . . . . . . 7
41 eqeq1 2302 . . . . . . . 8
4241rexbidv 2577 . . . . . . 7
4340, 42elab 2927 . . . . . 6
447adantr 451 . . . . . . . . . 10
452simp1d 967 . . . . . . . . . . 11
4645sselda 3193 . . . . . . . . . 10
47 recn 8843 . . . . . . . . . . 11
48 mulcom 8839 . . . . . . . . . . 11
499, 47, 48syl2an 463 . . . . . . . . . 10
5044, 46, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9
51 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14
5251rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . 13
5334, 52syl 15 . . . . . . . . . . . 12
5453imp 418 . . . . . . . . . . 11
5522adantr 451 . . . . . . . . . . 11
565adantr 451 . . . . . . . . . . 11
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
58 biid 227 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58supmul1 9735 . . . . . . . . . . 11
6046, 54, 55, 56, 59syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10
61 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14
6340, 62elab 2927 . . . . . . . . . . . . 13
64 rspe 2617 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6766rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6867cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69612rexbidv 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7068, 69syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7240, 70, 71elab2 2930 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7364, 72sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14
7571, 1supmullem2 9737 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 suprub 9731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7776ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15
7875, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
7974, 78sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . 13
8063, 79syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12
8180ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . 11
8246adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8319adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8482, 83remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . . 15
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
8786rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . 13
8887abssdv 3260 . . . . . . . . . . . 12
89 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089isseti 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9190rgenw 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
92 r19.2z 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9313, 91, 92sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 rexcom4 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9593, 94sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15
9662cbvexv 1956 . . . . . . . . . . . . . . 15
9795, 96sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14
98 abn0 3486 . . . . . . . . . . . . . 14
9997, 98sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
101 suprcl 9730 . . . . . . . . . . . . . . 15
10275, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
104 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . 14
106105rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13
107103, 81, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
108 suprleub 9734 . . . . . . . . . . . 12
10988, 100, 107, 103, 108syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11
11081, 109mpbird 223 . . . . . . . . . 10
11160, 110eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9
11250, 111eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8
113 breq1 4042 . . . . . . . 8
114112, 113syl5ibrcom 213 . . . . . . 7
115114rexlimdva 2680 . . . . . 6
11643, 115syl5bi 208 . . . . 5
117116ralrimiv 2638 . . . 4
11844, 46remulcld 8879 . . . . . . . 8
119 eleq1a 2365 . . . . . . . 8
120118, 119syl 15 . . . . . . 7
121120rexlimdva 2680 . . . . . 6
122121abssdv 3260 . . . . 5
1232simp2d 968 . . . . . . . 8
124 ovex 5899 . . . . . . . . . 10
125124isseti 2807 . . . . . . . . 9
126125rgenw 2623 . . . . . . . 8
127 r19.2z 3556 . . . . . . . 8
128123, 126, 127sylancl 643 . . . . . . 7
129 rexcom4 2820 . . . . . . 7
130128, 129sylib 188 . . . . . 6
131 abn0 3486 . . . . . 6
132130, 131sylibr 203 . . . . 5
133104ralbidv 2576 . . . . . . 7
134133rspcev 2897 . . . . . 6
135102, 117, 134syl2anc 642 . . . . 5
136 suprleub 9734 . . . . 5
137122, 132, 135, 102, 136syl31anc 1185 . . . 4
138117, 137mpbird 223 . . 3
13939, 138eqbrtrd 4059 . 2
14071, 1supmullem1 9736 . . 3
1414, 7remulcld 8879 . . . 4
142 suprleub 9734 . . . 4
14375, 141, 142syl2anc 642 . . 3
144140, 143mpbird 223 . 2
145141, 102letri3d 8977 . 2
146139, 144, 145mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753   cmul 8758   clt 8883   cle 8884 This theorem is referenced by:  sqrlem5  11748 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
 Copyright terms: Public domain W3C validator