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Theorem supmul1 9973
 Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that , where is shorthand for and is defined as below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 9976 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1
supmul1.2
Assertion
Ref Expression
supmul1
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2959 . . . . . . . 8
2 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11
32eqeq2d 2447 . . . . . . . . . 10
43cbvrexv 2933 . . . . . . . . 9
5 eqeq1 2442 . . . . . . . . . 10
65rexbidv 2726 . . . . . . . . 9
74, 6syl5bb 249 . . . . . . . 8
8 supmul1.1 . . . . . . . 8
91, 7, 8elab2 3085 . . . . . . 7
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13
11 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 11sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12
1312simp1d 969 . . . . . . . . . . 11
1413sselda 3348 . . . . . . . . . 10
15 suprcl 9968 . . . . . . . . . . . 12
1612, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11
1716adantr 452 . . . . . . . . . 10
18 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13
1910, 18sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12
20 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . 13
2110, 20sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21jca 519 . . . . . . . . . . 11
2322adantr 452 . . . . . . . . . 10
24 suprub 9969 . . . . . . . . . . 11
2512, 24sylan 458 . . . . . . . . . 10
26 lemul2a 9865 . . . . . . . . . 10
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1187 . . . . . . . . 9
28 breq1 4215 . . . . . . . . 9
2927, 28syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8
3029rexlimdva 2830 . . . . . . 7
319, 30syl5bi 209 . . . . . 6
3231ralrimiv 2788 . . . . 5
3319adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
3433, 14remulcld 9116 . . . . . . . . . . 11
35 eleq1a 2505 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10
3736rexlimdva 2830 . . . . . . . . 9
389, 37syl5bi 209 . . . . . . . 8
3938ssrdv 3354 . . . . . . 7
40 simpr2 964 . . . . . . . . . 10
4110, 40sylbi 188 . . . . . . . . 9
42 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11
4342isseti 2962 . . . . . . . . . 10
4443rgenw 2773 . . . . . . . . 9
45 r19.2z 3717 . . . . . . . . 9
4641, 44, 45sylancl 644 . . . . . . . 8
479exbii 1592 . . . . . . . . 9
48 n0 3637 . . . . . . . . 9
49 rexcom4 2975 . . . . . . . . 9
5047, 48, 493bitr4i 269 . . . . . . . 8
5146, 50sylibr 204 . . . . . . 7
5219, 16remulcld 9116 . . . . . . . 8
53 breq2 4216 . . . . . . . . . 10
5453ralbidv 2725 . . . . . . . . 9
5554rspcev 3052 . . . . . . . 8
5652, 32, 55syl2anc 643 . . . . . . 7
5739, 51, 563jca 1134 . . . . . 6
58 suprleub 9972 . . . . . 6
5957, 52, 58syl2anc 643 . . . . 5
6032, 59mpbird 224 . . . 4
61 simpr 448 . . . . . . 7
62 suprcl 9968 . . . . . . . . . 10
6357, 62syl 16 . . . . . . . . 9
6463adantr 452 . . . . . . . 8
6516adantr 452 . . . . . . . 8
6619adantr 452 . . . . . . . 8
67 n0 3637 . . . . . . . . . . . 12
68 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7110, 70sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372rspccva 3051 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7471, 73sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15
7569, 14, 17, 74, 25letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . 14
7675ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
7776exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . 12
7867, 77syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11
7941, 78mpd 15 . . . . . . . . . 10
8079adantr 452 . . . . . . . . 9
8168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8238imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8363adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8421adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8533, 14, 84, 74mulge0d 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8785, 86syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8887rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
899, 88syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9257, 91sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9381, 82, 83, 90, 92letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14
9594exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . 13
9648, 95syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12
9751, 96mpd 15 . . . . . . . . . . 11
9897anim1i 552 . . . . . . . . . 10
9968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
100 lelttr 9165 . . . . . . . . . . . 12
10199, 63, 52, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
102101adantr 452 . . . . . . . . . 10
10398, 102mpd 15 . . . . . . . . 9
104 prodgt02 9856 . . . . . . . . 9
10566, 65, 80, 103, 104syl22anc 1185 . . . . . . . 8
106 ltdivmul 9882 . . . . . . . 8
10764, 65, 66, 105, 106syl112anc 1188 . . . . . . 7
10861, 107mpbird 224 . . . . . 6
10912adantr 452 . . . . . . 7
110105gt0ne0d 9591 . . . . . . . 8
11164, 66, 110redivcld 9842 . . . . . . 7
112 suprlub 9970 . . . . . . 7
113109, 111, 112syl2anc 643 . . . . . 6
114108, 113mpbid 202 . . . . 5
115 rspe 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115, 9sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14
117116adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
118 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14
11992adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14
120118, 119eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . 13
121117, 120mpdan 650 . . . . . . . . . . . 12
122121expr 599 . . . . . . . . . . 11
123122exlimdv 1646 . . . . . . . . . 10
12443, 123mpi 17 . . . . . . . . 9
125124adantlr 696 . . . . . . . 8
12634adantlr 696 . . . . . . . . 9
12763ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
128126, 127lenltd 9219 . . . . . . . 8
129125, 128mpbid 202 . . . . . . 7
13014adantlr 696 . . . . . . . 8
13119ad2antrr 707 . . . . . . . 8
132105adantr 452 . . . . . . . 8
133 ltdivmul 9882 . . . . . . . 8
134127, 130, 131, 132, 133syl112anc 1188 . . . . . . 7
135129, 134mtbird 293 . . . . . 6
136135nrexdv 2809 . . . . 5
137114, 136pm2.65da 560 . . . 4
13860, 137jca 519 . . 3
13963, 52eqleltd 9217 . . 3
140138, 139mpbird 224 . 2
141140eqcomd 2441 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422   wne 2599  wral 2705  wrex 2706   wss 3320  c0 3628   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081  csup 7445  cr 8989  cc0 8990   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cdiv 9677 This theorem is referenced by:  supmul  9976 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678
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