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Theorem supmullem1 9966
Description: Lemma for supmul 9968. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
supmul.2  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
supmullem1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    A, b,
v, x, y, w, z    B, b, v, x, y, w, z    x, C, w    ph, b, w, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v)    C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2951 . . . 4  |-  w  e. 
_V
2 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  a  ->  (
v  x.  b )  =  ( a  x.  b ) )
32eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( v  =  a  ->  (
z  =  ( v  x.  b )  <->  z  =  ( a  x.  b
) ) )
43rexbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( v  =  a  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) ) )
54cbvrexv 2925 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) )
6 eqeq1 2441 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a  x.  b )  <->  w  =  ( a  x.  b
) ) )
762rexbidv 2740 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
85, 7syl5bb 249 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
9 supmul.1 . . . 4  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
101, 8, 9elab2 3077 . . 3  |-  ( w  e.  C  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) )
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
1211simp2bi 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
1312simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1413sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  RR )
1514adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  e.  RR )
16 suprcl 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1817adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1911simp3bi 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x ) )
2019simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2120sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
2221adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  e.  RR )
23 suprcl 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
)  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2524adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
26 simp1l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  A  0  <_  x )
2711, 26sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <_  x )
28 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  a ) )
2928rspccv 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  0  <_  x  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_ 
a ) )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_  a )
)
3130imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  0  <_  a )
3231adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  a )
33 simp1r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  B  0  <_  x )
3411, 33sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B 
0  <_  x )
35 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  b ) )
3635rspccv 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  0  <_  x  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_ 
b ) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  b )
)
3837imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  0  <_  b )
3938adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  b )
40 suprub 9961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4112, 40sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4241adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
43 suprub 9961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4419, 43sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4544adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4615, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45lemul12ad 9945 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
4746ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
48 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( a  x.  b )  ->  (
w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
4948biimprcd 217 . . . . 5  |-  ( ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5047, 49syl6 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
5150rexlimdvv 2828 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5210, 51syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5352ralrimiv 2780 1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113
This theorem is referenced by:  supmullem2  9967  supmul  9968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286
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