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Theorem supmullem1 9906
Description: Lemma for supmul 9908. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
supmul.2  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
supmullem1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    A, b,
v, x, y, w, z    B, b, v, x, y, w, z    x, C, w    ph, b, w, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v)    C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2902 . . . 4  |-  w  e. 
_V
2 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  a  ->  (
v  x.  b )  =  ( a  x.  b ) )
32eqeq2d 2398 . . . . . . 7  |-  ( v  =  a  ->  (
z  =  ( v  x.  b )  <->  z  =  ( a  x.  b
) ) )
43rexbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( v  =  a  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) ) )
54cbvrexv 2876 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) )
6 eqeq1 2393 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a  x.  b )  <->  w  =  ( a  x.  b
) ) )
762rexbidv 2692 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
85, 7syl5bb 249 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
9 supmul.1 . . . 4  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
101, 8, 9elab2 3028 . . 3  |-  ( w  e.  C  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) )
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
1211simp2bi 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
1312simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1413sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  RR )
1514adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  e.  RR )
16 suprcl 9900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1817adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1911simp3bi 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x ) )
2019simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2120sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
2221adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  e.  RR )
23 suprcl 9900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
)  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2524adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
26 simp1l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  A  0  <_  x )
2711, 26sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <_  x )
28 breq2 4157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  a ) )
2928rspccv 2992 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  0  <_  x  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_ 
a ) )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_  a )
)
3130imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  0  <_  a )
3231adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  a )
33 simp1r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  B  0  <_  x )
3411, 33sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B 
0  <_  x )
35 breq2 4157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  b ) )
3635rspccv 2992 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  0  <_  x  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_ 
b ) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  b )
)
3837imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  0  <_  b )
3938adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  b )
40 suprub 9901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4112, 40sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4241adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
43 suprub 9901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4419, 43sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4544adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4615, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45lemul12ad 9885 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
4746ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
48 breq1 4156 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( a  x.  b )  ->  (
w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
4948biimprcd 217 . . . . 5  |-  ( ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5047, 49syl6 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
5150rexlimdvv 2779 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5210, 51syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5352ralrimiv 2731 1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   (/)c0 3571   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   supcsup 7380   RRcr 8922   0cc0 8923    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054
This theorem is referenced by:  supmullem2  9907  supmul  9908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226
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