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Theorem supnuf 25629
Description: The supremum of a numerical function  F is greater or equal to every element of  ( F `  A ). Bourbaki TG IV.20. (Contributed by FL, 25-Dec-2011.)
Assertion
Ref Expression
supnuf  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) )

Proof of Theorem supnuf
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 14349 . . . 4  |-  <_  e.  TosetRel
2 tsrps 14330 . . . 4  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
31, 2mp1i 11 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  <_  e.  PosetRel )
4 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> RR*  ->  dom 
F  =  A )
5 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  dom  F  -> 
( A  e.  _V  <->  dom 
F  e.  _V )
)
65biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  dom  F  -> 
( A  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V ) )
76eqcoms 2286 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( A  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V ) )
84, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( F : A --> RR*  ->  ( A  e.  _V  ->  dom 
F  e.  _V )
)
98imp 418 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
1093adant3 975 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  dom  F  e.  _V )
11 ffun 5391 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR*  ->  Fun 
F )
12113ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  Fun  F )
13 funrnex 5747 . . . 4  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( Fun  F  ->  ran  F  e.  _V ) )
1410, 12, 13sylc 56 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ran  F  e.  _V )
15 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( F : A --> RR*  ->  ran 
F  C_  RR* )
16 xrex 10351 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1716ssex 4158 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  C_  RR*  ->  ran  F  e.  _V )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR*  ->  ran 
F  e.  _V )
19183ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ran  F  e.  _V )
20153ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ran  F 
C_  RR* )
21 xrsupss 10627 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) )
2320adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR* 
/\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  ->  ran  F  C_  RR* )
2423sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  RR* )
25 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  ran  F )  ->  x  e.  RR* )
26 xrlenlt 8890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
2827ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR* 
/\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x 
<-> 
A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y
) )
29 con34b 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y )  <->  ( -.  x  <_  y  ->  -.  A. z  e.  ran  F  z  <_  y ) )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
31 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
32 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
3433bicomd 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  x  <_  y  <->  y  <  x ) )
35 rexnal 2554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ran  F  -.  z  <_  y  <->  -.  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )
36 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ran  F )  -> 
y  e.  RR* )
3715sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> RR*  ->  ( z  e.  ran  F  ->  z  e.  RR* )
)
38373ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  (
z  e.  ran  F  ->  z  e.  RR* )
)
3938ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ran  F  ->  z  e.  RR* )
)
4039imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ran  F )  -> 
z  e.  RR* )
41 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
y  <  z  <->  -.  z  <_  y ) )
4236, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ran  F )  -> 
( y  <  z  <->  -.  z  <_  y )
)
4342bicomd 192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ran  F )  -> 
( -.  z  <_ 
y  <->  y  <  z
) )
4443rexbidva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( E. z  e.  ran  F  -.  z  <_  y  <->  E. z  e.  ran  F  y  <  z ) )
4535, 44syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  A. z  e.  ran  F  z  <_  y  <->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) )
4634, 45imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -.  x  <_ 
y  ->  -.  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) )
4729, 46syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( A. z  e. 
ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y
)  <->  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) )
4847ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR* 
/\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y  ->  x  <_  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  ran  F  y  <  z ) ) )
4928, 48anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR* 
/\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  ( A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) ) )
5049rexbidva 2560 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  ran  F  y  <  z ) ) ) )
5122, 50mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e. 
RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y  ->  x  <_  y ) ) )
52 ledm 14346 . . . . 5  |-  RR*  =  dom  <_
53 biid 227 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <-> 
( A. y  e. 
ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e. 
RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y  ->  x  <_  y ) ) )
5452, 53spwcl 14339 . . . 4  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ran  F  e.  _V  /\  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )  ->  (  <_  sup w  ran  F )  e. 
RR* )
553, 19, 51, 54syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  (  <_  sup w  ran  F
)  e.  RR* )
5652supdef 25262 . . 3  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ran  F  e.  _V  /\  (  <_  sup w  ran  F
)  e.  RR* )  ->  ( A. x  e. 
ran  F  x  <_  (  <_  sup w  ran  F
)  /\  A. x  e.  RR*  ( A. w  e.  ran  F  w  <_  x  ->  (  <_  sup w  ran  F )  <_  x ) ) )
573, 14, 55, 56syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( A. x  e.  ran  F  x  <_  (  <_  sup
w  ran  F )  /\  A. x  e.  RR*  ( A. w  e.  ran  F  w  <_  x  ->  (  <_  sup w  ran  F
)  <_  x )
) )
584eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR*  ->  A  =  dom  F )
5958eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR*  ->  ( C  e.  A  <->  C  e.  dom  F ) )
6059biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  C  e.  A )  ->  C  e.  dom  F )
61603adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  C  e.  dom  F )
62 fvelrn 5661 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  C  e.  dom  F )  -> 
( F `  C
)  e.  ran  F
)
6312, 61, 62syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  e.  ran  F )
64 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  C )  ->  (
x  <_  (  <_  sup
w  ran  F )  <->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) ) )
6564rspcv 2880 . . . . 5  |-  ( ( F `  C )  e.  ran  F  -> 
( A. x  e. 
ran  F  x  <_  (  <_  sup w  ran  F
)  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F
) ) )
6663, 65syl 15 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( A. x  e.  ran  F  x  <_  (  <_  sup
w  ran  F )  ->  ( F `  C
)  <_  (  <_  sup
w  ran  F )
) )
6766com12 27 . . 3  |-  ( A. x  e.  ran  F  x  <_  (  <_  sup w  ran  F )  -> 
( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) ) )
6867adantr 451 . 2  |-  ( ( A. x  e.  ran  F  x  <_  (  <_  sup
w  ran  F )  /\  A. x  e.  RR*  ( A. w  e.  ran  F  w  <_  x  ->  (  <_  sup w  ran  F
)  <_  x )
)  ->  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) ) )
6957, 68mpcom 32 1  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   PosetRelcps 14301    TosetRel ctsr 14302    sup w cspw 14303
This theorem is referenced by:  supnufb  25630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-undef 6298  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-spw 14308
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