MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppfif1 Unicode version

Theorem suppfif1 7366
Description: Formula building theorem for finite supports: rearranging the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
suppfif1.f  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
suppfif1.g  |-  ( ph  ->  G : X -1-1-> Y
)
Assertion
Ref Expression
suppfif1  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  o.  G ) "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )

Proof of Theorem suppfif1
StepHypRef Expression
1 cnvco 5023 . . . 4  |-  `' ( F  o.  G )  =  ( `' G  o.  `' F )
21imaeq1i 5167 . . 3  |-  ( `' ( F  o.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( ( `' G  o.  `' F ) " ( _V  \  { Z }
) )
3 imaco 5342 . . 3  |-  ( ( `' G  o.  `' F ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' G " ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) ) )
42, 3eqtri 2432 . 2  |-  ( `' ( F  o.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( `' G " ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) ) )
5 suppfif1.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G : X -1-1-> Y
)
6 df-f1 5426 . . . . 5  |-  ( G : X -1-1-> Y  <->  ( G : X --> Y  /\  Fun  `' G ) )
76simprbi 451 . . . 4  |-  ( G : X -1-1-> Y  ->  Fun  `' G )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  `' G )
9 suppfif1.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
10 imafi 7365 . . 3  |-  ( ( Fun  `' G  /\  ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin )  ->  ( `' G " ( `' F "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
118, 9, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( `' F "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
124, 11syl5eqel 2496 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  o.  G ) "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    \ cdif 3285   {csn 3782   `'ccnv 4844   "cima 4848    o. ccom 4849   Fun wfun 5415   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   Fincfn 7076
This theorem is referenced by:  coe1sfi  16573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-1o 6691  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-fin 7080
  Copyright terms: Public domain W3C validator