MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppfif1 Unicode version

Theorem suppfif1 7149
Description: Formula building theorem for finite supports: rearranging the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
suppfif1.f  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
suppfif1.g  |-  ( ph  ->  G : X -1-1-> Y
)
Assertion
Ref Expression
suppfif1  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  o.  G ) "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )

Proof of Theorem suppfif1
StepHypRef Expression
1 cnvco 4865 . . . 4  |-  `' ( F  o.  G )  =  ( `' G  o.  `' F )
21imaeq1i 5009 . . 3  |-  ( `' ( F  o.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( ( `' G  o.  `' F ) " ( _V  \  { Z }
) )
3 imaco 5178 . . 3  |-  ( ( `' G  o.  `' F ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' G " ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) ) )
42, 3eqtri 2303 . 2  |-  ( `' ( F  o.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( `' G " ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) ) )
5 suppfif1.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G : X -1-1-> Y
)
6 df-f1 5260 . . . . 5  |-  ( G : X -1-1-> Y  <->  ( G : X --> Y  /\  Fun  `' G ) )
76simprbi 450 . . . 4  |-  ( G : X -1-1-> Y  ->  Fun  `' G )
85, 7syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  `' G )
9 suppfif1.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
10 imafi 7148 . . 3  |-  ( ( Fun  `' G  /\  ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin )  ->  ( `' G " ( `' F "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
118, 9, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( `' F "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
124, 11syl5eqel 2367 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  o.  G ) "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   `'ccnv 4688   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  coe1sfi  16293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator