MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss2 Structured version   Unicode version

Theorem suppss2 6303
Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
suppss2.n  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  B  =  Z )
Assertion
Ref Expression
suppss2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  B )
" ( _V  \  { Z } ) ) 
C_  W )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k    k, W    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem suppss2
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
21mptpreima 5366 . 2  |-  ( `' ( k  e.  A  |->  B ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  {
k  e.  A  |  B  e.  ( _V  \  { Z } ) }
3 eldifsni 3930 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  B  =/=  Z )
4 eldif 3332 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  W )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  W ) )
5 suppss2.n . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  B  =  Z )
64, 5sylan2br 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  W ) )  ->  B  =  Z )
76expr 600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  k  e.  W  ->  B  =  Z ) )
87necon1ad 2673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  =/=  Z  ->  k  e.  W ) )
93, 8syl5 31 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  k  e.  W
) )
1093impia 1151 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  B  e.  ( _V  \  { Z } ) )  -> 
k  e.  W )
1110rabssdv 3425 . 2  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  e.  ( _V  \  { Z }
) }  C_  W
)
122, 11syl5eqss 3394 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  B )
" ( _V  \  { Z } ) ) 
C_  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   "cima 4884
This theorem is referenced by:  cantnflem1d  7647  cantnflem1  7648  gsumzsplit  15534  gsum2d  15551  dprdfid  15580  dprdfinv  15582  dprdfadd  15583  dmdprdsplitlem  15600  dpjidcl  15621  psrbagaddcl  16440  psrbas  16448  psrlidm  16472  psrridm  16473  mvridlem  16488  mplsubrg  16508  mplmon  16531  mplmonmul  16532  mplcoe1  16533  mplcoe3  16534  mplcoe2  16535  mplbas2  16536  evlslem4  16569  evlslem2  16573  coe1tmmul2  16673  coe1tmmul  16674  tsms0  18176  tgptsmscls  18184  tsmssplit  18186  evlslem3  19940  evlslem1  19941  coe1mul3  20027  plypf1  20136  tayl0  20283  dchrptlem3  21055  uvcresum  27233  mamulid  27449  mamurid  27450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894
  Copyright terms: Public domain W3C validator