MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss2 Unicode version

Theorem suppss2 6267
Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
suppss2.n  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  B  =  Z )
Assertion
Ref Expression
suppss2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  B )
" ( _V  \  { Z } ) ) 
C_  W )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k    k, W    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem suppss2
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . 3  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
21mptpreima 5330 . 2  |-  ( `' ( k  e.  A  |->  B ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  {
k  e.  A  |  B  e.  ( _V  \  { Z } ) }
3 eldifsni 3896 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  B  =/=  Z )
4 eldif 3298 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  W )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  W ) )
5 suppss2.n . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  B  =  Z )
64, 5sylan2br 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  W ) )  ->  B  =  Z )
76expr 599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  k  e.  W  ->  B  =  Z ) )
87necon1ad 2642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  =/=  Z  ->  k  e.  W ) )
93, 8syl5 30 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  k  e.  W
) )
1093impia 1150 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  B  e.  ( _V  \  { Z } ) )  -> 
k  e.  W )
1110rabssdv 3391 . 2  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  e.  ( _V  \  { Z }
) }  C_  W
)
122, 11syl5eqss 3360 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  B )
" ( _V  \  { Z } ) ) 
C_  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   {crab 2678   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   {csn 3782    e. cmpt 4234   `'ccnv 4844   "cima 4848
This theorem is referenced by:  cantnflem1d  7608  cantnflem1  7609  gsumzsplit  15492  gsum2d  15509  dprdfid  15538  dprdfinv  15540  dprdfadd  15541  dmdprdsplitlem  15558  dpjidcl  15579  psrbagaddcl  16398  psrbas  16406  psrlidm  16430  psrridm  16431  mvridlem  16446  mplsubrg  16466  mplmon  16489  mplmonmul  16490  mplcoe1  16491  mplcoe3  16492  mplcoe2  16493  mplbas2  16494  evlslem4  16527  evlslem2  16531  coe1tmmul2  16631  coe1tmmul  16632  tsms0  18132  tgptsmscls  18140  tsmssplit  18142  evlslem3  19896  evlslem1  19897  coe1mul3  19983  plypf1  20092  tayl0  20239  dchrptlem3  21011  uvcresum  27118  mamulid  27334  mamurid  27335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858
  Copyright terms: Public domain W3C validator