MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprcl Unicode version

Theorem suprcl 9901
Description: Closure of supremum of a non-empty bounded set of reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
suprcl  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suprcl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9090 . . 3  |-  <  Or  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  <  Or  RR )
3 sup3 9898 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supcl 7397 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   (/)c0 3572   class class class wbr 4154    Or wor 4444   supcsup 7381   RRcr 8923    < clt 9054    <_ cle 9055
This theorem is referenced by:  suprub  9902  suprleub  9905  supmul1  9906  supmullem1  9907  supmullem2  9908  supmul  9909  suprclii  9911  infmrcl  9920  suprzcl  10282  supminf  10496  rpnnen1lem4  10536  supxrre  10839  supxrbnd  10840  flval3  11150  sqrlem4  11979  climsup  12391  supcvg  12563  mertenslem1  12589  ruclem12  12768  prmreclem6  13217  icccmplem2  18726  icccmplem3  18727  reconnlem2  18730  evth  18856  ivthlem2  19217  ivthlem3  19218  ioombl1lem4  19323  mbfsup  19424  mbflimsup  19426  itg2monolem1  19510  itg2mono  19513  itg2cnlem1  19521  c1liplem1  19748  nmcexi  23378  rge0scvg  24140  supaddc  25948  supadd  25949  itg2addnclem2  25959  ubelsupr  27360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator