MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprub Unicode version

Theorem suprub 9805
Description: A member of a non-empty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
suprub  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem suprub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 8993 . . . . 5  |-  <  Or  RR
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  <  Or  RR )
3 sup3 9801 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supub 7300 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
54imp 418 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B
)
6 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR )
76sselda 3256 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  RR )
8 suprcl 9804 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
98adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
107, 9lenltd 9055 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
115, 10mpbird 223 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   (/)c0 3531   class class class wbr 4104    Or wor 4395   supcsup 7283   RRcr 8826    < clt 8957    <_ cle 8958
This theorem is referenced by:  supmul1  9809  supmullem1  9810  supmul  9812  suprubii  9815  suprzcl  10183  rpnnen1lem5  10438  flval3  11037  fseqsupubi  11132  sqrlem4  11827  sqrlem7  11830  isercolllem2  12235  climsup  12239  fsumcvg3  12299  supcvg  12411  mertenslem1  12437  mertenslem2  12438  ruclem12  12616  pgpssslw  15024  icccmplem2  18431  icccmplem3  18432  reconnlem2  18435  evth  18561  ivthlem2  18916  ivthlem3  18917  mbflimsup  19125  itg2mono  19212  itg2cnlem1  19220  c1liplem1  19447  plyeq0lem  19696  esumpcvgval  23734  erdszelem8  24133  supaddc  25482  supadd  25483  itg2addnclem2  25493  totbndbnd  25836  prdsbnd  25840  ubelsupr  27014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator