MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl Structured version   Unicode version

Theorem suprzcl 10351
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suprzcl
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10291 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  RR
2 sstr 3358 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  ZZ  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
31, 2mpan2 654 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  C_  RR )
4 suprcl 9970 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
53, 4syl3an1 1218 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
65ltm1d 9945 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
7 peano2rem 9369 . . . . . 6  |-  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )
9 suprlub 9972 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
108, 9mpdan 651 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
113, 10syl3an1 1218 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
126, 11mpbid 203 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z )
13 simpl1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  A  C_  ZZ )
1413sselda 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ )
151, 14sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
165adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1716adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
18 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  A )
1913, 18sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  ZZ )
20 zre 10288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
22 peano2re 9241 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( z  +  1 )  e.  RR )
2423adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
25 suprub 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
263, 25syl3anl1 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
2726adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
28 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z )
29 1re 9092 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  1  e.  RR )
3116, 30, 21ltsubaddd 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z  <->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) ) )
3228, 31mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) )
3332adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) )
3415, 17, 24, 27, 33lelttrd 9230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <  ( z  +  1 ) )
3519adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  ZZ )
36 zleltp1 10328 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( w  <_  z  <->  w  <  ( z  +  1 ) ) )
3714, 35, 36syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  z  <->  w  <  ( z  +  1 ) ) )
3834, 37mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  z )
3938ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  A. w  e.  A  w  <_  z )
40 suprleub 9974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
413, 40syl3anl1 1233 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
4221, 41syldan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
4339, 42mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z )
44 suprub 9971 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
453, 44syl3anl1 1233 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4645adantrr 699 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4716, 21letri3d 9217 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  z  <->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  /\  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) ) )
4843, 46, 47mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  z )
4948, 18eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
5012, 49rexlimddv 2836 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   supcsup 7447   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   ZZcz 10284
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem1  10602  rpnnen1lem2  10603  pgpssslw  15250  plyeq0lem  20131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285
  Copyright terms: Public domain W3C validator