MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzub Unicode version

Theorem suprzub 10401
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzub  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem suprzub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
2 ltso 8993 . . . . 5  |-  <  Or  RR
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  <  Or  RR )
4 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  C_  ZZ )
5 zssre 10123 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  RR
64, 5syl6ss 3267 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
7 ne0i 3537 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
81, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  =/=  (/) )
9 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)
10 zsupss 10399 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
12 ssrexv 3314 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
136, 11, 12sylc 56 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
143, 13supub 7300 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
151, 14mpd 14 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B )
166, 1sseldd 3257 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
17 suprzcl2 10400 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
184, 8, 9, 17syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
196, 18sseldd 3257 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2016, 19lenltd 9055 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
2115, 20mpbird 223 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   (/)c0 3531   class class class wbr 4104    Or wor 4395   supcsup 7283   RRcr 8826    < clt 8957    <_ cle 8958   ZZcz 10116
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  12789  pcprendvds  12990  pcpremul  12993  prmreclem1  13060  0ram  13164  gexex  15244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323
  Copyright terms: Public domain W3C validator