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Theorem supsrlem 8920
Description: Lemma for supremum theorem. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
supsrlem.1  |-  B  =  { w  |  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
supsrlem.2  |-  C  e. 
R.
Assertion
Ref Expression
supsrlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, A    x, B, y, z, w    x, C, y, z, w

Proof of Theorem supsrlem
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supsrlem.2 . . . . . . 7  |-  C  e. 
R.
2 0idsr 8906 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  +R  0R )  =  C )
31, 2mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( C  +R  0R )  =  C )
4 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  C  e.  A )
53, 4eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( C  +R  0R )  e.  A )
6 1pr 8826 . . . . . . 7  |-  1P  e.  P.
76elexi 2909 . . . . . 6  |-  1P  e.  _V
8 opeq1 3927 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  1P  ->  <. w ,  1P >.  =  <. 1P ,  1P >. )
9 eceq1 6878 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  1P >.  = 
<. 1P ,  1P >.  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  1P  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )
11 df-0r 8873 . . . . . . . . 9  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
1210, 11syl6eqr 2438 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  1P  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  0R )
1312oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1P  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  0R ) )
1413eleq1d 2454 . . . . . 6  |-  ( w  =  1P  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  0R )  e.  A ) )
15 supsrlem.1 . . . . . 6  |-  B  =  { w  |  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
167, 14, 15elab2 3029 . . . . 5  |-  ( 1P  e.  B  <->  ( C  +R  0R )  e.  A
)
175, 16sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  1P  e.  B )
18 ne0i 3578 . . . 4  |-  ( 1P  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
1917, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  B  =/=  (/) )
20 breq1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <R  x  <->  C  <R  x ) )
2120rspccv 2993 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  C  <R  x ) )
22 0lt1sr 8904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0R  <R  1R
23 m1r 8891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -1R  e.  R.
24 ltasr 8909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( 0R 
<R  1R  <->  ( -1R  +R  0R )  <R  ( -1R 
+R  1R ) ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
<R  1R  <->  ( -1R  +R  0R )  <R  ( -1R 
+R  1R ) )
2622, 25mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  0R )  <R 
( -1R  +R  1R )
27 0idsr 8906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
2823, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
29 m1p1sr 8901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
3026, 28, 293brtr3i 4181 . . . . . . . . . . 11  |-  -1R  <R  0R
31 ltasr 8909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  R.  ->  ( -1R  <R  0R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) ) )
321, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
<R  0R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) )
3330, 32mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +R  -1R )  <R 
( C  +R  0R )
341, 2ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +R  0R )  =  C
3533, 34breqtri 4177 . . . . . . . . 9  |-  ( C  +R  -1R )  <R  C
36 ltsosr 8903 . . . . . . . . . 10  |-  <R  Or  R.
37 ltrelsr 8880 . . . . . . . . . 10  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
3836, 37sotri 5202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  <R  C  /\  C  <R  x )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  x )
3935, 38mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<R  x  ->  ( C  +R  -1R )  <R  x )
401map2psrpr 8919 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  x  <->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
4139, 40sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( C 
<R  x  ->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
4221, 41syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x ) )
43 breq2 4158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  y  <R  x ) )
4443ralbidv 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A. y  e.  A  y  <R  x ) )
4515abeq2i 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
46 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
4746rspccv 2993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
) )
481ltpsrpr 8918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w  <P  v )
4947, 48syl6ib 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  ->  w  <P  v )
)
5045, 49syl5bi 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
w  e.  B  ->  w  <P  v ) )
5150ralrimiv 2732 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  A. w  e.  B  w  <P  v )
5244, 51syl6bir 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A. w  e.  B  w  <P  v ) )
5352com12 29 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  A. w  e.  B  w  <P  v ) )
5453reximdv 2761 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( E. v  e.  P.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5542, 54syld 42 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5655rexlimivw 2770 . . . 4  |-  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5756impcom 420 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
)
58 supexpr 8865 . . 3  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v )  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
5919, 57, 58syl2anc 643 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
601mappsrpr 8917 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  v  e.  P. )
6137brel 4867 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. ) )
6260, 61sylbir 205 . . . . . 6  |-  ( v  e.  P.  ->  (
( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. ) )
6362simprd 450 . . . . 5  |-  ( v  e.  P.  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. )
6463adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. )
6536, 37sotri 5202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  ( C  +R  -1R )  <R 
y )
6660, 65sylanbr 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( C  +R  -1R )  <R  y )
671map2psrpr 8919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  y  <->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
6866, 67sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
69 rexex 2709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  E. w
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
70 df-ral 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  <->  A. w
( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
) )
71 19.29 1603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. w ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. w
( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y ) )
72 eleq1 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7345, 72syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( w  e.  B  <->  y  e.  A ) )
741ltpsrpr 8918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  <->  v  <P  w )
75 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
7674, 75syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( v  <P  w  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y ) )
7776notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( -.  v  <P  w  <->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
7873, 77imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
)  <->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
7978biimpac 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
)  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  (
y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
8079exlimiv 1641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
8171, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. w ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8270, 81sylanb 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8382expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
8468, 69, 833syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
8584imp3a 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8685impancom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8786pm2.01d 163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )
)  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )
8887expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  P.  /\  A. w  e.  B  -.  v  <P  w )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
8988ralrimiv 2732 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  P.  /\  A. w  e.  B  -.  v  <P  w )  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
)
9089ex 424 . . . . . 6  |-  ( v  e.  P.  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
9190adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
92 r19.29 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. w  e.  P.  ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)
93 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  y 
<R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
9448, 93syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( w  <P  v  <->  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
9594biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  w  <P  v ) )
96 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  u  e. 
_V
97 opeq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  u  ->  <. w ,  1P >.  =  <. u ,  1P >. )
98 eceq1 6878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <.
w ,  1P >.  = 
<. u ,  1P >.  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  u  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )
10099oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  u  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  ) )
101100eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  u  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
)
10296, 101, 15elab2 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  B  <->  ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
103 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
1041ltpsrpr 8918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w  <P  u )
105103, 104syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  w 
<P  u ) )
106105rspcev 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  /\  w  <P  u )  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z )
107102, 106sylanb 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  <P  u )  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z )
108107rexlimiva 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  B  w 
<P  u  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
z )
109 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  y 
<R  z ) )
110109rexbidv 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
111108, 110syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( E. u  e.  B  w  <P  u  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11295, 111imim12d 70 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  -> 
( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
113112impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
114113rexlimivw 2770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w  e.  P.  (
( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11592, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  -> 
( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11667, 115sylan2b 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y )  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
117116ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
118117adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
119118a1dd 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
12036, 37sotri2 5204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  R.  /\  -.  ( C  +R  -1R )  <R  y  /\  ( C  +R  -1R )  <R  C )  ->  y  <R  C )
12135, 120mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  -.  ( C  +R  -1R )  <R  y )  -> 
y  <R  C )
122 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  C  ->  (
y  <R  z  <->  y  <R  C ) )
123122rspcev 2996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  <R  C )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
124123ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  <R  C  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
125124a1dd 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  <R  C  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
126121, 125syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
( y  e.  R.  /\ 
-.  ( C  +R  -1R )  <R  y )  ->  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
127126exp3acom23 1378 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( -.  ( C  +R  -1R )  <R  y  ->  (
y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
128127ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( -.  ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
129119, 128pm2.61d 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( y  e. 
R.  ->  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
130129ralrimiv 2732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
131130ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
132131adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
13391, 132anim12d 547 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  (
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
134 breq1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
x  <R  y  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y ) )
135134notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( -.  x  <R  y  <->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
136135ralbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  <->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
137 breq2 4158 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  x  <->  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
138137imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )  <->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
139138ralbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )  <->  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
140136, 139anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e. 
R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
141140rspcev 2996 . . . 4  |-  ( ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R.  /\  ( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
14264, 133, 141ee12an 1369 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  (
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
143142rexlimdva 2774 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
14459, 143mpd 15 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   (/)c0 3572   <.cop 3761   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   [cec 6840   P.cnp 8668   1Pc1p 8669    <P cltp 8672    ~R cer 8675   R.cnr 8676   0Rc0r 8677   1Rc1r 8678   -1Rcm1r 8679    +R cplr 8680    <R cltr 8682
This theorem is referenced by:  supsr  8921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-ec 6844  df-qs 6848  df-ni 8683  df-pli 8684  df-mi 8685  df-lti 8686  df-plpq 8719  df-mpq 8720  df-ltpq 8721  df-enq 8722  df-nq 8723  df-erq 8724  df-plq 8725  df-mq 8726  df-1nq 8727  df-rq 8728  df-ltnq 8729  df-np 8792  df-1p 8793  df-plp 8794  df-mp 8795  df-ltp 8796  df-plpr 8866  df-mpr 8867  df-enr 8868  df-nr 8869  df-plr 8870  df-mr 8871  df-ltr 8872  df-0r 8873  df-1r 8874  df-m1r 8875
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