Theorem supsrlem2 5238

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypothesis

Ref	Expression
supsrlem.1	|- C e. R.

Assertion

Ref	Expression
supsrlem2	|- (A e. R. <-> E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A))

Distinct variable groups:   x,A   x,C

Proof of Theorem supsrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 5203	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
2		mulclsr 5205	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ -1R e. R.) -> (A .R -1R) e. R.)
3	1, 2	mpan2 698	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (A .R -1R) e. R.)
4		supsrlem.1	. . . . . 6 |- C e. R.
5	3, 4	jctir 293	. . . . 5 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) e. R. /\ C e. R.))
6		addclsr 5204	. . . . 5 |- (((A .R -1R) e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R -1R) +R C) e. R.)
7	5, 6	syl 10	. . . 4 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) +R C) e. R.)
8		addclsr 5204	. . . . 5 |- ((((A .R -1R) +R C) e. R. /\ -1R e. R.) -> (((A .R -1R) +R C) +R -1R) e. R.)
9	1, 8	mpan2 698	. . . 4 |- (((A .R -1R) +R C) e. R. -> (((A .R -1R) +R C) +R -1R) e. R.)
10		negexsr 5223	. . . 4 |- ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) e. R. -> E.x(x e. R. /\ ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R))
11	7, 9, 10	3syl 20	. . 3 |- (A e. R. -> E.x(x e. R. /\ ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R))
12		pn0sr 5222	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)
13	12	opreq1d 3981	. . . . . . . . . 10 |- (A e. R. -> ((A +R (A .R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (0R +R (C +R (x +R -1R))))
14		addclsr 5204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. R. /\ -1R e. R.) -> (x +R -1R) e. R.)
15	1, 14	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. R. -> (x +R -1R) e. R.)
16	15, 4	jctil 292	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. R. -> (C e. R. /\ (x +R -1R) e. R.))
17		addclsr 5204	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. R. /\ (x +R -1R) e. R.) -> (C +R (x +R -1R)) e. R.)
18		0idsr 5218	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C +R (x +R -1R)) e. R. -> ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (C +R (x +R -1R)))
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. R. -> ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (C +R (x +R -1R)))
20		oprex 3989	. . . . . . . . . . . 12 |- (C +R (x +R -1R)) e. V
21		0r 5201	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R e. R.
22	21	elisseti 1821	. . . . . . . . . . . 12 |- 0R e. V
23	20, 22	addcomsr 5208	. . . . . . . . . . 11 |- ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (0R +R (C +R (x +R -1R)))
24	19, 23	syl5eqr 1524	. . . . . . . . . 10 |- (x e. R. -> (0R +R (C +R (x +R -1R))) = (C +R (x +R -1R)))
25	13, 24	sylan9eq 1530	. . . . . . . . 9 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> ((A +R (A .R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (C +R (x +R -1R)))
26		oprex 3989	. . . . . . . . . 10 |- (A .R -1R) e. V
27	26, 20	addasssr 5209	. . . . . . . . 9 |- ((A +R (A .R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R))))
28	25, 27	syl5eqr 1524	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> (A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (C +R (x +R -1R)))
29		0idsr 5218	. . . . . . . . 9 |- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)
30	29	adantr 391	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> (A +R 0R) = A)
31	28, 30	eqeq12d 1492	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> ((A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R) <-> (C +R (x +R -1R)) = A))
32	1	elisseti 1821	. . . . . . . . . . 11 |- -1R e. V
33		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
34	32, 33	addasssr 5209	. . . . . . . . . 10 |- ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = (((A .R -1R) +R C) +R (-1R +R x))
35	32, 33	addcomsr 5208	. . . . . . . . . . 11 |- (-1R +R x) = (x +R -1R)
36	35	opreq2i 3978	. . . . . . . . . 10 |- (((A .R -1R) +R C) +R (-1R +R x)) = (((A .R -1R) +R C) +R (x +R -1R))
37	4	elisseti 1821	. . . . . . . . . . 11 |- C e. V
38		oprex 3989	. . . . . . . . . . 11 |- (x +R -1R) e. V
39	37, 38	addasssr 5209	. . . . . . . . . 10 |- (((A .R -1R) +R C) +R (x +R -1R)) = ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))
40	34, 36, 39	3eqtr 1502	. . . . . . . . 9 |- ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))
41	40	eqeq1i 1485	. . . . . . . 8 |- (((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R <-> ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R))) = 0R)
42		opreq2 3975	. . . . . . . 8 |- (((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R))) = 0R -> (A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R))
43	41, 42	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R -> (A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R))
44	31, 43	syl5bi 208	. . . . . 6 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> (((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R -> (C +R (x +R -1R)) = A))
45	44	ex 373	. . . . 5 |- (A e. R. -> (x e. R. -> (((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R -> (C +R (x +R -1R)) = A)))
46	45	imdistand 447	. . . 4 |- (A e. R. -> ((x e. R. /\ ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R) -> (x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A)))
47	46	19.22dv 1292	. . 3 |- (A e. R. -> (E.x(x e. R. /\ ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R) -> E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A)))
48	11, 47	mpd 26	. 2 |- (A e. R. -> E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A))
49		eleq1 1537	. . . . 5 |- ((C +R (x +R -1R)) = A -> ((C +R (x +R -1R)) e. R. <-> A e. R.))
50	16, 17	syl 10	. . . . 5 |- (x e. R. -> (C +R (x +R -1R)) e. R.)
51	49, 50	syl5bi 208	. . . 4 |- ((C +R (x +R -1R)) = A -> (x e. R. -> A e. R.))
52	51	impcom 351	. . 3 |- ((x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A) -> A e. R.)
53	52	19.23aiv 1297	. 2 |- (E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A) -> A e. R.)
54	48, 53	impbi 157	1 |- (A e. R. <-> E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  (class class class)co 3969  R.cnr 5005  0Rc0r 5006  -1Rcm1r 5008   +R cplr 5009   .R cmr 5010

This theorem is referenced by:  supsrlem6 5242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185

Copyright terms: Public domain