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Theorem supub 7398
Description: A supremum is an upper bound. See also supcl 7397 and suplub 7399.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5359) using riotacl2 6500.

(Contributed by NM, 12-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
supcl.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supub  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    C( x, y, z)

Proof of Theorem supub
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y )
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y ) )
32ss2rabi 3369 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  C_  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }
4 supmo.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
5 supcl.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
64, 5supval2 7394 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
74, 5supeu 7393 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
8 riotacl2 6500 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
106, 9eqeltrd 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
113, 10sseldi 3290 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y } )
12 breq2 4158 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
x R y  <->  x R w ) )
1312notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R w ) )
1413cbvralv 2876 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  x R w )
15 breq1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( x R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1615notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( -.  x R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1716ralbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. w  e.  B  -.  x R w  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1814, 17syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1918elrab 3036 . . . 4  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  <-> 
( sup ( B ,  A ,  R
)  e.  A  /\  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
2019simprbi 451 . . 3  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  ->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w )
2111, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w )
22 breq2 4158 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  ( sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2322notbid 286 . . 3  |-  ( w  =  C  ->  ( -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2423rspccv 2993 . 2  |-  ( A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2521, 24syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   E!wreu 2652   {crab 2654   class class class wbr 4154    Or wor 4444   iota_crio 6479   supcsup 7381
This theorem is referenced by:  suplub2  7400  supmax  7404  supiso  7411  suprub  9902  infmrlb  9922  suprzub  10500  supxrun  10827  supxrub  10836  infmxrlb  10845  dgrub  20021  supssd  23940  ssnnssfz  23985  ballotlemimin  24543  ballotlemfrcn0  24567  itg2addnclem  25958  supubt  26133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-po 4445  df-so 4446  df-iota 5359  df-riota 6486  df-sup 7382
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