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Theorem supub 7210
Description: A supremum is an upper bound. See also supcl 7209 and suplub 7211.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5219) using riotacl2 6318.

(Contributed by NM, 12-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
supcl.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supub  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    C( x, y, z)

Proof of Theorem supub
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y )
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y ) )
32ss2rabi 3255 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  C_  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }
4 supmo.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
5 supcl.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
64, 5supval2 7206 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
74, 5supeu 7205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
8 riotacl2 6318 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
106, 9eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
113, 10sseldi 3178 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y } )
12 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
x R y  <->  x R w ) )
1312notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R w ) )
1413cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  x R w )
15 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( x R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1615notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( -.  x R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1716ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. w  e.  B  -.  x R w  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1814, 17syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1918elrab 2923 . . . 4  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  <-> 
( sup ( B ,  A ,  R
)  e.  A  /\  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
2019simprbi 450 . . 3  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  ->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w )
2111, 20syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w )
22 breq2 4027 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  ( sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2322notbid 285 . . 3  |-  ( w  =  C  ->  ( -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2423rspccv 2881 . 2  |-  ( A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2521, 24syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547   class class class wbr 4023    Or wor 4313   iota_crio 6297   supcsup 7193
This theorem is referenced by:  suplub2  7212  supmax  7216  supiso  7223  suprub  9715  infmrlb  9735  suprzub  10309  supxrun  10634  supxrub  10643  infmxrlb  10652  dgrub  19616  ballotlemimin  23064  ballotlemfrcn0  23088  supssd  23248  ssnnssfz  23277  supubt  26421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-po 4314  df-so 4315  df-iota 5219  df-riota 6304  df-sup 7194
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