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Theorem supval2 7452
Description: Alternative expression for the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
supeu.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supval2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem supval2
StepHypRef Expression
1 supmo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
2 supeu.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
31, 2supeu 7451 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
4 riotauni 6548 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
6 df-sup 7438 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
75, 6syl6reqr 2486 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   {crab 2701   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    Or wor 4494   iota_crio 6534   supcsup 7437
This theorem is referenced by:  eqsup  7453  supcl  7455  supub  7456  suplub  7457  fisupcl  7464  toslub  24183  tosglb  24184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-po 4495  df-so 4496  df-iota 5410  df-riota 6541  df-sup 7438
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