MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd1 Unicode version

Theorem supxrbnd1 10860
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrbnd1
StepHypRef Expression
1 ralnex 2680 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)
2 rexr 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3 ssel2 3307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
4 xrlenlt 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
52, 3, 4syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
65an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
76rexbidva 2687 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
8 rexnal 2681 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <  x )
97, 8syl6rbb 254 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
109ralbidva 2686 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
111, 10syl5bbr 251 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
12 supxrunb1 10858 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
13 supxrcl 10853 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 nltpnft 10714 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
1611, 12, 153bitrd 271 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
1716con4bid 285 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   supcsup 7407   RRcr 8949    +oocpnf 9077   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254
  Copyright terms: Public domain W3C validator