MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd1 Unicode version

Theorem supxrbnd1 10732
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrbnd1
StepHypRef Expression
1 ralnex 2629 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)
2 rexr 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3 ssel2 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
4 xrlenlt 8980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
52, 3, 4syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
65an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
76rexbidva 2636 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
8 rexnal 2630 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <  x )
97, 8syl6rbb 253 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
109ralbidva 2635 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
111, 10syl5bbr 250 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
12 supxrunb1 10730 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
13 supxrcl 10725 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 nltpnft 10587 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
1611, 12, 153bitrd 270 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
1716con4bid 284 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   supcsup 7283   RRcr 8826    +oocpnf 8954   RR*cxr 8956    < clt 8957    <_ cle 8958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator