MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrcl Unicode version

Theorem supxrcl 10680
Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrcl  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )

Proof of Theorem supxrcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10522 . . 3  |-  <  Or  RR*
21a1i 10 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 10674 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supcl 7254 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1701    C_ wss 3186    Or wor 4350   supcsup 7238   RR*cxr 8911    < clt 8912
This theorem is referenced by:  supxrun  10681  supxrmnf  10683  supxrbnd1  10687  supxrbnd2  10688  supxrub  10690  supxrleub  10692  supxrre  10693  supxrbnd  10694  supxrgtmnf  10695  supxrre1  10696  supxrre2  10697  supxrss  10698  ixxub  10724  limsupgord  11993  limsupcl  11994  limsupgf  11996  prdsdsf  17983  xpsdsval  17997  xrge0tsms  18391  elovolm  18887  ovolmge0  18889  ovolgelb  18892  ovollb2lem  18900  ovolunlem1a  18908  ovoliunlem1  18914  ovoliunlem2  18915  ovoliun  18917  ovolscalem1  18925  ovolicc1  18928  ovolicc2lem4  18932  voliunlem2  18961  voliunlem3  18962  ioombl1lem2  18969  uniioovol  18987  uniiccvol  18988  uniioombllem1  18989  uniioombllem3  18993  itg2cl  19140  itg2seq  19150  itg2monolem2  19159  itg2monolem3  19160  itg2mono  19161  mdeglt  19504  mdegxrcl  19506  radcnvcl  19846  nmoxr  21399  nmopxr  22501  nmfnxr  22514  xrofsup  23272  supxrnemnf  23273  xrge0tsmsd  23360  itg2addnclem  25317  itg2gt0cn  25320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085
  Copyright terms: Public domain W3C validator