MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrcl Structured version   Unicode version

Theorem supxrcl 10893
Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrcl  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )

Proof of Theorem supxrcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10734 . . 3  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 10887 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supcl 7463 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    C_ wss 3320    Or wor 4502   supcsup 7445   RR*cxr 9119    < clt 9120
This theorem is referenced by:  supxrun  10894  supxrmnf  10896  supxrbnd1  10900  supxrbnd2  10901  supxrub  10903  supxrleub  10905  supxrre  10906  supxrbnd  10907  supxrgtmnf  10908  supxrre1  10909  supxrre2  10910  supxrss  10911  ixxub  10937  limsupgord  12266  limsupcl  12267  limsupgf  12269  prdsdsf  18397  xpsdsval  18411  xrge0tsms  18865  elovolm  19371  ovolmge0  19373  ovolgelb  19376  ovollb2lem  19384  ovolunlem1a  19392  ovoliunlem1  19398  ovoliunlem2  19399  ovoliun  19401  ovolscalem1  19409  ovolicc1  19412  ovolicc2lem4  19416  voliunlem2  19445  voliunlem3  19446  ioombl1lem2  19453  uniioovol  19471  uniiccvol  19472  uniioombllem1  19473  uniioombllem3  19477  itg2cl  19624  itg2seq  19634  itg2monolem2  19643  itg2monolem3  19644  itg2mono  19645  mdeglt  19988  mdegxrcl  19990  radcnvcl  20333  nmoxr  22267  nmopxr  23369  nmfnxr  23382  xrofsup  24126  supxrnemnf  24127  xrsclat  24202  xrge0tsmsd  24223  mblfinlem3  26245  mblfinlem4  26246  ismblfin  26247  itg2addnclem  26256  itg2gt0cn  26260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator