MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrleub Unicode version

Theorem supxrleub 10837
Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrleub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem supxrleub
StepHypRef Expression
1 supxrlub 10836 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  E. x  e.  A  B  <  x ) )
21notbid 286 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x ) )
3 ralnex 2659 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  <  x  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x )
42, 3syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
5 supxrcl 10825 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6 xrlenlt 9076 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
75, 6sylan 458 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
8 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
98sselda 3291 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
10 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
11 xrlenlt 9076 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
129, 10, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
1312ralbidva 2665 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  A  x  <_  B  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
144, 7, 133bitr4d 277 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   supcsup 7380   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054
This theorem is referenced by:  supxrre  10838  supxrss  10843  ixxub  10869  limsupgord  12193  limsupgle  12198  prdsxmetlem  18306  ovollb2lem  19251  ovolunlem1  19260  ovoliunlem2  19266  ovolscalem1  19276  ovolicc1  19279  voliunlem2  19312  voliunlem3  19313  uniioovol  19338  uniioombllem3  19344  volsup2  19364  itg2leub  19493  itg2seq  19501  itg2mono  19512  itg2gt0  19519  itg2cn  19522  mdegleb  19854  radcnvlt1  20201  nmoubi  22121  nmopub  23259  nmfnleub  23276  prdsbnd  26193  rrnequiv  26235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator