MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrleub Structured version   Unicode version

Theorem supxrleub 10897
Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrleub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem supxrleub
StepHypRef Expression
1 supxrlub 10896 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  E. x  e.  A  B  <  x ) )
21notbid 286 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x ) )
3 ralnex 2707 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  <  x  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x )
42, 3syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
5 supxrcl 10885 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6 xrlenlt 9135 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
75, 6sylan 458 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
8 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
98sselda 3340 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
10 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
11 xrlenlt 9135 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
129, 10, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
1312ralbidva 2713 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  A  x  <_  B  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
144, 7, 133bitr4d 277 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   supcsup 7437   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113
This theorem is referenced by:  supxrre  10898  supxrss  10903  ixxub  10929  limsupgord  12258  limsupgle  12263  prdsxmetlem  18390  ovollb2lem  19376  ovolunlem1  19385  ovoliunlem2  19391  ovolscalem1  19401  ovolicc1  19404  voliunlem2  19437  voliunlem3  19438  uniioovol  19463  uniioombllem3  19469  volsup2  19489  itg2leub  19618  itg2seq  19626  itg2mono  19637  itg2gt0  19644  itg2cn  19647  mdegleb  19979  radcnvlt1  20326  nmoubi  22265  nmopub  23403  nmfnleub  23420  prdsbnd  26493  rrnequiv  26535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286
  Copyright terms: Public domain W3C validator