MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrleub Unicode version

Theorem supxrleub 10645
Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrleub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem supxrleub
StepHypRef Expression
1 supxrlub 10644 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  E. x  e.  A  B  <  x ) )
21notbid 285 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x ) )
3 ralnex 2553 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  <  x  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x )
42, 3syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
5 supxrcl 10633 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6 xrlenlt 8890 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
75, 6sylan 457 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
8 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
98sselda 3180 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
10 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
11 xrlenlt 8890 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
129, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
1312ralbidva 2559 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  A  x  <_  B  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
144, 7, 133bitr4d 276 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   supcsup 7193   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  supxrre  10646  supxrss  10651  ixxub  10677  limsupgord  11946  limsupgle  11951  prdsxmetlem  17932  ovollb2lem  18847  ovolunlem1  18856  ovoliunlem2  18862  ovolscalem1  18872  ovolicc1  18875  voliunlem2  18908  voliunlem3  18909  uniioovol  18934  uniioombllem3  18940  volsup2  18960  itg2leub  19089  itg2seq  19097  itg2mono  19108  itg2gt0  19115  itg2cn  19118  mdegleb  19450  radcnvlt1  19794  nmoubi  21350  nmopub  22488  nmfnleub  22505  prdsbnd  26517  rrnequiv  26559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator