MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrpnf Structured version   Unicode version

Theorem supxrpnf 10899
Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infnity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrpnf  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )

Proof of Theorem supxrpnf
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3344 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
2 pnfnlt 10727 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
31, 2syl6 32 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -.  +oo  <  y ) )
43ralrimiv 2790 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -.  +oo  <  y )
5 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( z  =  +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  <  +oo ) )
65rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( 
+oo  e.  A  /\  y  <  +oo )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
76ex 425 . . . 4  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
87ralrimivw 2792 . . 3  |-  (  +oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
94, 8anim12i 551 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -.  +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
10 pnfxr 10715 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
11 supxr 10893 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
1210, 11mpanl2 664 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
139, 12syldan 458 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   supcsup 7447   RRcr 8991    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122
This theorem is referenced by:  xrsup  11251  volsup  19452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296
  Copyright terms: Public domain W3C validator