MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrpnf Unicode version

Theorem supxrpnf 10637
Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infnity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrpnf  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )

Proof of Theorem supxrpnf
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3174 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
2 pnfnlt 10467 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
31, 2syl6 29 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -.  +oo  <  y ) )
43ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -.  +oo  <  y )
5 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( z  =  +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  <  +oo ) )
65rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( 
+oo  e.  A  /\  y  <  +oo )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
76ex 423 . . . 4  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
87ralrimivw 2627 . . 3  |-  (  +oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
94, 8anim12i 549 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -.  +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
10 pnfxr 10455 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
11 supxr 10631 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
1210, 11mpanl2 662 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
139, 12syldan 456 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   supcsup 7193   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867
This theorem is referenced by:  xrsup  10972  volsup  18913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator