Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrre Unicode version

Theorem supxrre 10662
 Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists. (Contributed by NM, 18-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrre
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem supxrre
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprcl 9730 . . . 4
21leidd 9355 . . 3
3 suprleub 9734 . . . . 5
41, 3mpdan 649 . . . 4
5 simp1 955 . . . . . 6
6 ressxr 8892 . . . . . 6
75, 6syl6ss 3204 . . . . 5
81rexrd 8897 . . . . 5
9 supxrleub 10661 . . . . 5
107, 8, 9syl2anc 642 . . . 4
114, 10bitr4d 247 . . 3
122, 11mpbid 201 . 2
13 supxrcl 10649 . . . . 5
147, 13syl 15 . . . 4
15 xrleid 10500 . . . 4
1614, 15syl 15 . . 3
17 supxrleub 10661 . . . . 5
187, 14, 17syl2anc 642 . . . 4
19 simp2 956 . . . . . . . 8
20 n0 3477 . . . . . . . 8
2119, 20sylib 188 . . . . . . 7
22 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . 11
2322a1i 10 . . . . . . . . . 10
245sselda 3193 . . . . . . . . . . 11
2524rexrd 8897 . . . . . . . . . 10
2614adantr 451 . . . . . . . . . 10
27 mnflt 10480 . . . . . . . . . . 11
2824, 27syl 15 . . . . . . . . . 10
29 supxrub 10659 . . . . . . . . . . 11
307, 29sylan 457 . . . . . . . . . 10
3123, 25, 26, 28, 30xrltletrd 10508 . . . . . . . . 9
3231ex 423 . . . . . . . 8
3332exlimdv 1626 . . . . . . 7
3421, 33mpd 14 . . . . . 6
35 xrre 10514 . . . . . 6
3614, 1, 34, 12, 35syl22anc 1183 . . . . 5
37 suprleub 9734 . . . . 5
3836, 37mpdan 649 . . . 4
3918, 38bitr4d 247 . . 3
4016, 39mpbid 201 . 2
41 xrletri3 10502 . . 3
4214, 8, 41syl2anc 642 . 2
4312, 40, 42mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039  csup 7209  cr 8752   cmnf 8881  cxr 8882   clt 8883   cle 8884 This theorem is referenced by:  supxrbnd  10663  ovoliunlem1  18877  ovoliun2  18881  ioombl1lem4  18934  uniioombllem2  18954  uniioombllem6  18959  itg1climres  19085  itg2monolem1  19121  itg2i1fseq2  19127  nmcexi  22622  itg2addnc  25005 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
 Copyright terms: Public domain W3C validator