MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrre Structured version   Unicode version

Theorem supxrre 10906
Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists. (Contributed by NM, 18-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrre
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprcl 9968 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
21leidd 9593 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3 suprleub 9972 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
41, 3mpdan 650 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
5 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR )
6 ressxr 9129 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
75, 6syl6ss 3360 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR* )
81rexrd 9134 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
9 supxrleub 10905 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
114, 10bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
122, 11mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
13 supxrcl 10893 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
15 xrleid 10743 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
17 supxrleub 10905 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
187, 14, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
19 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  =/=  (/) )
20 n0 3637 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2119, 20sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. z 
z  e.  A )
22 mnfxr 10714 . . . . . . . . 9  |-  -oo  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  e.  RR* )
245sselda 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
2524rexrd 9134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR* )
2614adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
27 mnflt 10722 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  -oo  <  z )
2824, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  z )
29 supxrub 10903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
307, 29sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
3123, 25, 26, 28, 30xrltletrd 10751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
3221, 31exlimddv 1648 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
33 xrre 10757 . . . . . 6  |-  ( ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3414, 1, 32, 12, 33syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
35 suprleub 9972 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )  -> 
( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3634, 35mpdan 650 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3718, 36bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3816, 37mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
39 xrletri3 10745 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4014, 8, 39syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <-> 
( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4112, 38, 40mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   supcsup 7445   RRcr 8989    -oocmnf 9118   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  supxrbnd  10907  ovoliunlem1  19398  ovoliun2  19402  ioombl1lem4  19455  uniioombllem2  19475  uniioombllem6  19480  itg1climres  19606  itg2monolem1  19642  itg2i1fseq2  19648  nmcexi  23529  itg2addnc  26259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator