Theorem supxrss 10916

Description: Smaller sets of extended reals have smaller suprema. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
supxrss	|- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) )

Proof of Theorem supxrss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 733	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> B C_ RR* )
2		simpl 445	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A C_ B )
3	2	sselda 3350	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> x e. B )
4		supxrub 10908	. . . 4 |- ( ( B C_ RR* /\ x e. B ) -> x <_ sup ( B , RR* , < ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 644	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> x <_ sup ( B , RR* , < ) )
6	5	ralrimiva 2791	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) )
7		sstr 3358	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A C_ RR* )
8		supxrcl 10898	. . . 4 |- ( B C_ RR* -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
9	8	adantl 454	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
10		supxrleub 10910	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ sup ( B , RR* , < ) e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 644	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
12	6, 11	mpbird 225	1 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   e. wcel 1726   A.wral 2707   C_ wss 3322   class class class wbr 4215   supcsup 7448   RR*cxr 9124   < clt 9125   <_ cle 9126

This theorem is referenced by:  deg1mul3le  20044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299