Theorem supxrss 10867

Description: Smaller sets of extended reals have smaller suprema. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
supxrss	|- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) )

Proof of Theorem supxrss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 732	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> B C_ RR* )
2		simpl 444	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A C_ B )
3	2	sselda 3308	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> x e. B )
4		supxrub 10859	. . . 4 |- ( ( B C_ RR* /\ x e. B ) -> x <_ sup ( B , RR* , < ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> x <_ sup ( B , RR* , < ) )
6	5	ralrimiva 2749	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) )
7		sstr 3316	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A C_ RR* )
8		supxrcl 10849	. . . 4 |- ( B C_ RR* -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
9	8	adantl 453	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
10		supxrleub 10861	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ sup ( B , RR* , < ) e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 643	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
12	6, 11	mpbird 224	1 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   e. wcel 1721   A.wral 2666   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   supcsup 7403   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077

This theorem is referenced by:  deg1mul3le  19992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250