Theorem supxrss 10651

Description: Smaller sets of extended reals have smaller suprema. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
supxrss	|- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) )

Proof of Theorem supxrss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 731	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> B C_ RR* )
2		simpl 443	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A C_ B )
3	2	sselda 3180	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> x e. B )
4		supxrub 10643	. . . 4 |- ( ( B C_ RR* /\ x e. B ) -> x <_ sup ( B , RR* , < ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 642	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) /\ x e. A ) -> x <_ sup ( B , RR* , < ) )
6	5	ralrimiva 2626	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) )
7		sstr 3187	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> A C_ RR* )
8		supxrcl 10633	. . . 4 |- ( B C_ RR* -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
9	8	adantl 452	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
10		supxrleub 10645	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ sup ( B , RR* , < ) e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 642	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
12	6, 11	mpbird 223	1 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR* ) -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   e. wcel 1684   A.wral 2543   C_ wss 3152   class class class wbr 4023   supcsup 7193   RR*cxr 8866   < clt 8867   <_ cle 8868

This theorem is referenced by:  deg1mul3le  19502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040