MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Unicode version

Theorem supxrub 10836
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10667 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 10820 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supub 7398 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
54imp 419 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B
)
6 ssel2 3287 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
7 supxrcl 10826 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
87adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9 xrlenlt 9077 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
106, 8, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
115, 10mpbird 224 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717    C_ wss 3264   class class class wbr 4154    Or wor 4444   supcsup 7381   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055
This theorem is referenced by:  supxrre  10839  supxrss  10844  ixxub  10870  prdsdsf  18306  prdsxmetlem  18307  xpsdsval  18320  prdsbl  18412  xrge0tsms  18737  bndth  18855  ovolmge0  19241  ovollb2lem  19252  ovolunlem1a  19260  ovoliunlem1  19266  ovoliun  19269  ovolicc2lem4  19284  ioombl1lem2  19321  ioombl1lem4  19323  uniioombllem2  19343  uniioombllem3  19345  uniioombllem6  19348  vitalilem4  19371  itg2ub  19493  itg2seq  19502  itg2monolem1  19510  itg2monolem2  19511  itg2monolem3  19512  aannenlem2  20114  radcnvcl  20201  radcnvle  20204  nmooge0  22117  nmoolb  22121  nmlno0lem  22143  nmoplb  23259  nmfnlb  23276  nmlnop0iALT  23347  xrofsup  23963  xrge0tsmsd  24053  itg2addnc  25960  rrnequiv  26236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator