MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Unicode version

Theorem supxrub 10659
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10491 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
21a1i 10 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 10643 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supub 7226 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
54imp 418 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B
)
6 ssel2 3188 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
7 supxrcl 10649 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
87adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9 xrlenlt 8906 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
106, 8, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
115, 10mpbird 223 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    Or wor 4329   supcsup 7209   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  supxrre  10662  supxrss  10667  ixxub  10693  prdsdsf  17947  prdsxmetlem  17948  xpsdsval  17961  prdsbl  18053  xrge0tsms  18355  bndth  18472  ovolmge0  18852  ovollb2lem  18863  ovolunlem1a  18871  ovoliunlem1  18877  ovoliun  18880  ovolicc2lem4  18895  ioombl1lem2  18932  ioombl1lem4  18934  uniioombllem2  18954  uniioombllem3  18956  uniioombllem6  18959  vitalilem4  18982  itg2ub  19104  itg2seq  19113  itg2monolem1  19121  itg2monolem2  19122  itg2monolem3  19123  aannenlem2  19725  radcnvcl  19809  radcnvle  19812  nmooge0  21361  nmoolb  21365  nmlno0lem  21387  nmoplb  22503  nmfnlb  22520  nmlnop0iALT  22591  xrofsup  23270  xrge0tsmsd  23397  itg2addnc  25005  rrnequiv  26662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator