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Theorem supxrunb1 10654
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrunb1
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3187 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  z  e. 
RR* ) )
2 pnfnlt 10483 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  z )
31, 2syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  -.  +oo  <  z ) )
43ralrimiv 2638 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. z  e.  A  -.  +oo  <  z )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. z  e.  A  -.  +oo  <  z )
6 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
7 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( z  +  1 )  ->  (
x  <_  y  <->  ( z  +  1 )  <_ 
y ) )
87rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( z  +  1 )  ->  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y ) )
98rspcva 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y )
109adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_ 
RR* ) )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
1110ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  ( z  +  1 )  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
126, 11sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
13 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
14 ltp1 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  <  ( z  +  1 ) )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
z  <  ( z  +  1 ) )
166ancli 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR ) )
17 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
18 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  +  1 )  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR* )
19 xrltletr 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  (
z  +  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( z  <  (
z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_  y
)  ->  z  <  y ) )
2018, 19syl3an2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  (
z  +  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( z  <  (
z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_  y
)  ->  z  <  y ) )
2117, 20syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  < 
( z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_ 
y )  ->  z  <  y ) )
22213expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( z  <  ( z  +  1 )  /\  (
z  +  1 )  <_  y )  -> 
z  <  y )
)
2316, 22sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  < 
( z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_ 
y )  ->  z  <  y ) )
2415, 23mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2524ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2613, 25sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2726an32s 779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2827reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
2928adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
3012, 29mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  z  <  y )
3130exp31 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR* 
->  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
3231a1dd 42 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR* 
->  ( z  <  +oo  ->  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3332com4r 80 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR*  ->  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3433com13 74 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( z  e.  RR  ->  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3534imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
3635ralrimiv 2638 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
375, 36jca 518 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( A. z  e.  A  -.  +oo 
<  z  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
38 pnfxr 10471 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
39 supxr 10647 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  ( A. z  e.  A  -.  +oo  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
4038, 39mpanl2 662 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A. z  e.  A  -.  +oo  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
4137, 40syldan 456 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
4241ex 423 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo ) )
43 rexr 8893 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
4443ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  x  e.  RR* )
45 ltpnf 10479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
46 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  ( x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <-> 
x  <  +oo ) )
4745, 46syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  ( x  e.  RR  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
4847impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
4948adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
50 xrltso 10491 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
5150a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  <  Or  RR* )
52 xrsupss 10643 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. z  e.  RR*  ( A. w  e.  A  -.  z  <  w  /\  A. w  e.  RR*  ( w  < 
z  ->  E. y  e.  A  w  <  y ) ) )
5352ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  E. z  e.  RR*  ( A. w  e.  A  -.  z  <  w  /\  A. w  e.  RR*  (
w  <  z  ->  E. y  e.  A  w  <  y ) ) )
5451, 53suplub 7227 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  -> 
( ( x  e. 
RR*  /\  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
5544, 49, 54mp2and 660 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  E. y  e.  A  x  <  y )
5655ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
5743ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
5813adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
59 xrltle 10499 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  ->  x  <_  y ) )
6057, 58, 59syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <  y  ->  x  <_  y ) )
6160reximdva 2668 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6256, 61syld 40 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6362ralrimdva 2646 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
6442, 63impbid 183 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    Or wor 4329  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  supxrbnd1  10656  uzsup  10983  limsupval2  11970  limsupbnd2  11973  rlimuni  12040  rlimcld2  12068  rlimno1  12143  esumcvg  23469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
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