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Theorem supxrunb1 10831
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrunb1
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3286 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  z  e. 
RR* ) )
2 pnfnlt 10658 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  z )
31, 2syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  -.  +oo  <  z ) )
43ralrimiv 2732 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. z  e.  A  -.  +oo  <  z )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. z  e.  A  -.  +oo  <  z )
6 peano2re 9172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
7 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( z  +  1 )  ->  (
x  <_  y  <->  ( z  +  1 )  <_ 
y ) )
87rexbidv 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( z  +  1 )  ->  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y ) )
98rspcva 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y )
109adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_ 
RR* ) )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
1110ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  ( z  +  1 )  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
126, 11sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
13 ssel2 3287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
14 ltp1 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  <  ( z  +  1 ) )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
z  <  ( z  +  1 ) )
166ancli 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR ) )
17 rexr 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
18 rexr 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  +  1 )  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR* )
19 xrltletr 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  (
z  +  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( z  <  (
z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_  y
)  ->  z  <  y ) )
2018, 19syl3an2 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  (
z  +  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( z  <  (
z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_  y
)  ->  z  <  y ) )
2117, 20syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  < 
( z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_ 
y )  ->  z  <  y ) )
22213expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( z  <  ( z  +  1 )  /\  (
z  +  1 )  <_  y )  -> 
z  <  y )
)
2316, 22sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  < 
( z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_ 
y )  ->  z  <  y ) )
2415, 23mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2524ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2613, 25sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2726an32s 780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2827reximdva 2762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
2928adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
3012, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  z  <  y )
3130exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR* 
->  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
3231a1dd 44 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR* 
->  ( z  <  +oo  ->  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3332com4r 82 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR*  ->  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3433com13 76 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( z  e.  RR  ->  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3534imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
3635ralrimiv 2732 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
375, 36jca 519 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( A. z  e.  A  -.  +oo 
<  z  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
38 pnfxr 10646 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
39 supxr 10824 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  ( A. z  e.  A  -.  +oo  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
4038, 39mpanl2 663 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A. z  e.  A  -.  +oo  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
4137, 40syldan 457 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
4241ex 424 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo ) )
43 rexr 9064 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
4443ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  x  e.  RR* )
45 ltpnf 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
46 breq2 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  ( x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <-> 
x  <  +oo ) )
4745, 46syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  ( x  e.  RR  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
4847impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
4948adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
50 xrltso 10667 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
5150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  <  Or  RR* )
52 xrsupss 10820 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. z  e.  RR*  ( A. w  e.  A  -.  z  <  w  /\  A. w  e.  RR*  ( w  < 
z  ->  E. y  e.  A  w  <  y ) ) )
5352ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  E. z  e.  RR*  ( A. w  e.  A  -.  z  <  w  /\  A. w  e.  RR*  (
w  <  z  ->  E. y  e.  A  w  <  y ) ) )
5451, 53suplub 7399 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  -> 
( ( x  e. 
RR*  /\  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
5544, 49, 54mp2and 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo )  ->  E. y  e.  A  x  <  y )
5655ex 424 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
5743ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
5813adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
59 xrltle 10675 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  ->  x  <_  y ) )
6057, 58, 59syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <  y  ->  x  <_  y ) )
6160reximdva 2762 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6256, 61syld 42 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6362ralrimdva 2740 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
6442, 63impbid 184 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   class class class wbr 4154    Or wor 4444  (class class class)co 6021   supcsup 7381   RRcr 8923   1c1 8925    + caddc 8927    +oocpnf 9051   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055
This theorem is referenced by:  supxrbnd1  10833  uzsup  11172  limsupval2  12202  limsupbnd2  12205  rlimuni  12272  rlimcld2  12300  rlimno1  12375  esumcvg  24273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227
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