Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrunb2 Structured version   Unicode version

Theorem supxrunb2 10891
 Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb2
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem supxrunb2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3334 . . . . . . . 8
2 pnfnlt 10717 . . . . . . . 8
31, 2syl6 31 . . . . . . 7
43ralrimiv 2780 . . . . . 6
54adantr 452 . . . . 5
6 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . 15
76rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . 14
87rspcva 3042 . . . . . . . . . . . . 13
98adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12
109ancoms 440 . . . . . . . . . . 11
1110exp31 588 . . . . . . . . . 10
1211a1dd 44 . . . . . . . . 9
1312com4r 82 . . . . . . . 8
1413com13 76 . . . . . . 7
1514imp 419 . . . . . 6
1615ralrimiv 2780 . . . . 5
175, 16jca 519 . . . 4
18 pnfxr 10705 . . . . 5
19 supxr 10883 . . . . 5
2018, 19mpanl2 663 . . . 4
2117, 20syldan 457 . . 3
2221ex 424 . 2
23 rexr 9122 . . . . . . 7
2423ad2antlr 708 . . . . . 6
25 ltpnf 10713 . . . . . . . . 9
26 breq2 4208 . . . . . . . . 9
2725, 26syl5ibr 213 . . . . . . . 8
2827impcom 420 . . . . . . 7
2928adantll 695 . . . . . 6
30 xrltso 10726 . . . . . . . 8
3130a1i 11 . . . . . . 7
32 xrsupss 10879 . . . . . . . 8
3332ad2antrr 707 . . . . . . 7
3431, 33suplub 7457 . . . . . 6
3524, 29, 34mp2and 661 . . . . 5
3635exp31 588 . . . 4
3736com23 74 . . 3
3837ralrimdv 2787 . 2
3922, 38impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312   class class class wbr 4204   wor 4494  csup 7437  cr 8981   cpnf 9109  cxr 9111   clt 9112 This theorem is referenced by:  supxrbnd2  10893  supxrbnd  10899 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286
 Copyright terms: Public domain W3C validator