Theorem supxrunb2 6045

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity.

Assertion

Ref	Expression
supxrunb2	|- (A (_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y <-> sup(A, RR*, < ) = +oo))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem supxrunb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2059	. . . . . . . 8 |- (A (_ RR* -> (z e. A -> z e. RR*))
2		pnfnltt 5527	. . . . . . . 8 |- (z e. RR* -> -. +oo < z)
3	1, 2	syl6 22	. . . . . . 7 |- (A (_ RR* -> (z e. A -> -. +oo < z))
4	3	r19.21aiv 1710	. . . . . 6 |- (A (_ RR* -> A.z e. A -. +oo < z)
5	4	adantr 389	. . . . 5 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> A.z e. A -. +oo < z)
6		breq1 2617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = z -> (x < y <-> z < y))
7	6	rexbidv 1661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = z -> (E.y e. A x < y <-> E.y e. A z < y))
8	7	rcla4va 1871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> E.y e. A z < y)
9	8	adantrr 395	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ (A.x e. RR E.y e. A x < y /\ A (_ RR*)) -> E.y e. A z < y)
10	9	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- (((A.x e. RR E.y e. A x < y /\ A (_ RR*) /\ z e. RR) -> E.y e. A z < y)
11	10	exp31 376	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A (_ RR* -> (z e. RR -> E.y e. A z < y)))
12	11	a1dd 42	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A (_ RR* -> (z < +oo -> (z e. RR -> E.y e. A z < y))))
13	12	com4r 41	. . . . . . . 8 |- (z e. RR -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A (_ RR* -> (z < +oo -> E.y e. A z < y))))
14	13	com13 33	. . . . . . 7 |- (A (_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (z e. RR -> (z < +oo -> E.y e. A z < y))))
15	14	imp 350	. . . . . 6 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> (z e. RR -> (z < +oo -> E.y e. A z < y)))
16	15	r19.21aiv 1710	. . . . 5 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))
17	5, 16	jca 288	. . . 4 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y)))
18		pnfxr 5473	. . . . 5 |- +oo e. RR*
19		supxr 6036	. . . . 5 |- (((A (_ RR* /\ +oo e. RR*) /\ (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
20	18, 19	mpanl2 706	. . . 4 |- ((A (_ RR* /\ (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
21	17, 20	syldan 467	. . 3 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
22	21	ex 373	. 2 |- (A (_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> sup(A, RR*, < ) = +oo))
23		xrltso 5535	. . . . . . 7 |- < Or RR*
24	23	suplub 4561	. . . . . 6 |- (E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)) -> ((x e. RR* /\ x < sup(A, RR*, < )) -> E.y e. A x < y))
25		xrsupss 6033	. . . . . . 7 |- (A (_ RR* -> E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)))
26	25	ad2antrr 404	. . . . . 6 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)))
27		rexrt 5479	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> x e. RR*)
28	27	ad2antlr 405	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x e. RR*)
29		breq2 2618	. . . . . . . . . 10 |- (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x < sup(A, RR*, < ) <-> x < +oo))
30		ltpnft 5523	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> x < +oo)
31	29, 30	syl5bir 210	. . . . . . . . 9 |- (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x e. RR -> x < sup(A, RR*, < )))
32	31	impcom 351	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x < sup(A, RR*, < ))
33	32	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x < sup(A, RR*, < ))
34	28, 33	jca 288	. . . . . 6 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> (x e. RR* /\ x < sup(A, RR*, < )))
35	24, 26, 34	sylc 68	. . . . 5 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> E.y e. A x < y)
36	35	exp31 376	. . . 4 |- (A (_ RR* -> (x e. RR -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> E.y e. A x < y)))
37	36	com23 32	. . 3 |- (A (_ RR* -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x e. RR -> E.y e. A x < y)))
38	37	r19.21adv 1715	. 2 |- (A (_ RR* -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> A.x e. RR E.y e. A x < y))
39	22, 38	impbid 515	1 |- (A (_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y <-> sup(A, RR*, < ) = +oo))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  supcsup 4553  RRcr 5213   +oocpnf 5463  RR*cxr 5465   < clt 5466

This theorem is referenced by:  supxrbnd 6046  supxrbnd2 6051  nmcopexlem1 9889  nmcfnexlem1 9918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471

Copyright terms: Public domain