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Theorem surjsec2 25120
Description: A function is an surjection iff a section exists. Bourbaki E.II.18 prop. 8. (Contributed by FL, 18-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
surjsec2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F : A -onto-> B 
<->  E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    D, s    F, s

Proof of Theorem surjsec2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  B  e.  D )
2 dffo3 5675 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) ) )
32simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( F : A -onto-> B  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
5 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( s `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( s `  x
) ) )
65eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( s `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) )
76ac6sg 8115 . . . . . 6  |-  ( B  e.  D  ->  ( A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y )  ->  E. s
( s : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) ) )
81, 4, 7sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  E. s
( s : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) )
9 fof 5451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  F : A --> B )
11 fco 5398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  s : B --> A )  ->  ( F  o.  s ) : B --> B )
1210, 11sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( F  o.  s ) : B --> B )
13 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  s ) : B --> B  -> 
( F  o.  s
)  Fn  B )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( F  o.  s )  Fn  B
)
15 fnresi 5361 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  B )  Fn  B
16 eqfnfv 5622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  o.  s
)  Fn  B  /\  (  _I  |`  B )  Fn  B )  -> 
( ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( ( F  o.  s
) `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
1714, 15, 16sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( ( F  o.  s ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  x ) ) )
18 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s : B --> A  /\  x  e.  B )  ->  ( ( F  o.  s ) `  x
)  =  ( F `
 ( s `  x ) ) )
1918adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )
)  /\  s : B
--> A )  /\  x  e.  B )  ->  (
( F  o.  s
) `  x )  =  ( F `  ( s `  x
) ) )
20 fvresi 5711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )
)  /\  s : B
--> A )  /\  x  e.  B )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2219, 21eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )
)  /\  s : B
--> A )  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( F  o.  s ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  x )  <->  ( F `  ( s `  x
) )  =  x ) )
23 eqcom 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  ( s `
 x ) )  =  x  <->  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) )
2422, 23syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )
)  /\  s : B
--> A )  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( F  o.  s ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  x )  <->  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) )
2524ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( F  o.  s ) `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 x )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) )
2617, 25bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `  x
) ) ) )
2726pm5.32da 622 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  (
( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )
)  <->  ( s : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `  x
) ) ) ) )
2827exbidv 1612 . . . . 5  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  ( E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B ) )  <->  E. s ( s : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `  x
) ) ) ) )
298, 28mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  E. s
( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )
) )
3029expcom 424 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F : A -onto-> B  ->  E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) ) ) )
31303adant1 973 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F : A -onto-> B  ->  E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) ) ) )
32 fcofo 5798 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F : A -onto-> B )
33323expib 1154 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F : A -onto-> B ) )
34333ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F : A -onto-> B ) )
3534exlimdv 1664 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F : A -onto-> B ) )
3631, 35impbid 183 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F : A -onto-> B 
<->  E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    _I cid 4304    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-en 6864  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743
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