MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swoso Unicode version

Theorem swoso 6707
Description: If the incomparability relation is equivalent to equality in a subset, then the partial order strictly orders the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
swoer.1  |-  R  =  ( ( X  X.  X )  \  (  .<  u.  `'  .<  )
)
swoer.2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .<  z  ->  -.  z  .<  y
) )
swoer.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  .<  y  ->  ( x  .<  z  \/  z  .<  y ) ) )
swoso.4  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
swoso.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
Assertion
Ref Expression
swoso  |-  ( ph  ->  .<  Or  Y )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .<    ph, x, y, z   
x, X, y, z   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, z)    Y( z)

Proof of Theorem swoso
StepHypRef Expression
1 swoso.4 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 swoer.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .<  z  ->  -.  z  .<  y
) )
3 swoer.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  .<  y  ->  ( x  .<  z  \/  z  .<  y ) ) )
42, 3swopo 4340 . . 3  |-  ( ph  ->  .<  Po  X )
5 poss 4332 . . 3  |-  ( Y 
C_  X  ->  (  .<  Po  X  ->  .<  Po  Y ) )
61, 4, 5sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  .<  Po  Y )
71sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
81sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
97, 8anim12dan 810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )
10 swoer.1 . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( X  X.  X )  \  (  .<  u.  `'  .<  )
)
1110brdifun 6703 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x R y  <->  -.  ( x  .<  y  \/  y  .<  x ) ) )
129, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x R y  <->  -.  ( x  .<  y  \/  y  .<  x ) ) )
13 df-3an 936 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  /\  x R y ) )
14 swoso.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
1513, 14sylan2br 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
1615expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x R y  ->  x  =  y ) )
1712, 16sylbird 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( -.  ( x 
.<  y  \/  y  .<  x )  ->  x  =  y ) )
1817orrd 367 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  .<  y  \/  y  .<  x
)  \/  x  =  y ) )
19 3orcomb 944 . . . 4  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( x  .<  y  \/  y  .<  x  \/  x  =  y ) )
20 df-3or 935 . . . 4  |-  ( ( x  .<  y  \/  y  .<  x  \/  x  =  y )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
2119, 20bitri 240 . . 3  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
2218, 21sylibr 203 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) )
236, 22issod 4360 1  |-  ( ph  ->  .<  Or  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    Po wpo 4328    Or wor 4329    X. cxp 4703   `'ccnv 4704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-cnv 4713
  Copyright terms: Public domain W3C validator