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Theorem swoso 6938
Description: If the incomparability relation is equivalent to equality in a subset, then the partial order strictly orders the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
swoer.1  |-  R  =  ( ( X  X.  X )  \  (  .<  u.  `'  .<  )
)
swoer.2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .<  z  ->  -.  z  .<  y
) )
swoer.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  .<  y  ->  ( x  .<  z  \/  z  .<  y ) ) )
swoso.4  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
swoso.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
Assertion
Ref Expression
swoso  |-  ( ph  ->  .<  Or  Y )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .<    ph, x, y, z   
x, X, y, z   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, z)    Y( z)

Proof of Theorem swoso
StepHypRef Expression
1 swoso.4 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 swoer.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .<  z  ->  -.  z  .<  y
) )
3 swoer.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  .<  y  ->  ( x  .<  z  \/  z  .<  y ) ) )
42, 3swopo 4515 . . 3  |-  ( ph  ->  .<  Po  X )
5 poss 4507 . . 3  |-  ( Y 
C_  X  ->  (  .<  Po  X  ->  .<  Po  Y ) )
61, 4, 5sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  .<  Po  Y )
71sselda 3350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
81sselda 3350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
97, 8anim12dan 812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )
10 swoer.1 . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( X  X.  X )  \  (  .<  u.  `'  .<  )
)
1110brdifun 6934 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x R y  <->  -.  ( x  .<  y  \/  y  .<  x ) ) )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x R y  <->  -.  ( x  .<  y  \/  y  .<  x ) ) )
13 df-3an 939 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  /\  x R y ) )
14 swoso.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
1513, 14sylan2br 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
1615expr 600 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x R y  ->  x  =  y ) )
1712, 16sylbird 228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( -.  ( x 
.<  y  \/  y  .<  x )  ->  x  =  y ) )
1817orrd 369 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  .<  y  \/  y  .<  x
)  \/  x  =  y ) )
19 3orcomb 947 . . . 4  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( x  .<  y  \/  y  .<  x  \/  x  =  y ) )
20 df-3or 938 . . . 4  |-  ( ( x  .<  y  \/  y  .<  x  \/  x  =  y )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
2119, 20bitri 242 . . 3  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
2218, 21sylibr 205 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) )
236, 22issod 4535 1  |-  ( ph  ->  .<  Or  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    Po wpo 4503    Or wor 4504    X. cxp 4878   `'ccnv 4879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-cnv 4888
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