MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd00 Unicode version

Theorem swrd00 11451
Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd00  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/)

Proof of Theorem swrd00
Dummy variables  s 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4719 . . . 4  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  ( _V 
X.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  <->  ( S  e.  _V  /\  <. X ,  X >.  e.  ( ZZ 
X.  ZZ ) ) )
2 opelxp 4719 . . . . 5  |-  ( <. X ,  X >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) 
<->  ( X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ ) )
3 swrdval 11450 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  if ( ( X..^ X ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) ) )
4 fzo0 10893 . . . . . . . . . 10  |-  ( X..^ X )  =  (/)
5 0ss 3483 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  dom  S
64, 5eqsstri 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( X..^ X )  C_  dom  S
7 iftrue 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X..^ X )  C_  dom  S  ->  if (
( X..^ X ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  if ( ( X..^ X ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) )
9 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  ZZ  ->  X  e.  CC )
109subidd 9145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X  -  X )  =  0 )
1110oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  ( 0..^ 0 ) )
12113ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  ( 0..^ 0 ) )
13 fzo0 10893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
1412, 13syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  (/) )
15 mpteq1 4100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0..^ ( X  -  X ) )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) ) 
|->  ( S `  (
x  +  X ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( S `
 ( x  +  X ) ) ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( X  -  X
) )  |->  ( S `
 ( x  +  X ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( S `  ( x  +  X
) ) ) )
17 mpt0 5371 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( S `  ( x  +  X
) ) )  =  (/)
1816, 17syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( X  -  X
) )  |->  ( S `
 ( x  +  X ) ) )  =  (/) )
198, 18syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  if ( ( X..^ X
)  C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
203, 19eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
21203expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  ( X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
222, 21sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( S  e.  _V  /\  <. X ,  X >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
231, 22sylbi 187 . . 3  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  ( _V 
X.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
24 df-substr 11412 . . . 4  |- substr  =  ( s  e.  _V , 
b  e.  ( ZZ 
X.  ZZ )  |->  if ( ( ( 1st `  b )..^ ( 2nd `  b ) )  C_  dom  s ,  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
x  +  ( 1st `  b ) ) ) ) ,  (/) ) )
25 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) )  e.  _V
2625mptex 5746 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
x  +  ( 1st `  b ) ) ) )  e.  _V
27 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2826, 27ifex 3623 . . . 4  |-  if ( ( ( 1st `  b
)..^ ( 2nd `  b
) )  C_  dom  s ,  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b )  -  ( 1st `  b
) ) )  |->  ( s `  ( x  +  ( 1st `  b
) ) ) ) ,  (/) )  e.  _V
2924, 28dmmpt2 6194 . . 3  |-  dom substr  =  ( _V  X.  ( ZZ 
X.  ZZ ) )
3023, 29eleq2s 2375 . 2  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
31 df-ov 5861 . . 3  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  ( substr  `  <. S ,  <. X ,  X >. >. )
32 ndmfv 5552 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( substr  ` 
<. S ,  <. X ,  X >. >. )  =  (/) )
3331, 32syl5eq 2327 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
3430, 33pm2.61i 156 1  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   <.cop 3643    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   0cc0 8737    + caddc 8740    - cmin 9037   ZZcz 10024  ..^cfzo 10870   substr csubstr 11406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-substr 11412
  Copyright terms: Public domain W3C validator