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Theorem swrdccat3a 28251
 Description: A prefix of a concatenation is either a prefix of the first concatenated word or a concatenation of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l
Assertion
Ref Expression
swrdccat3a Word Word concat substr substr concat substr

Proof of Theorem swrdccat3a
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11088 . . . . . 6
2 0elfz 28134 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
43ancri 537 . . . 4
5 swrdccatin12.l . . . . . 6
65swrdccat3 28249 . . . . 5 Word Word concat substr substr substr substr concat substr
76imp 420 . . . 4 Word Word concat substr substr substr substr concat substr
84, 7sylan2 462 . . 3 Word Word concat substr substr substr substr concat substr
9 iftrue 3747 . . . . 5 substr concat substr substr
109adantl 454 . . . 4 Word Word substr concat substr substr
11 iffalse 3748 . . . . . 6 substr concat substr concat substr
12113ad2ant2 980 . . . . 5 Word Word substr concat substr concat substr
13 lencl 11740 . . . . . . . . . . . . 13 Word
145, 13syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . 12 Word
15 nn0le0eq0 10255 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11 Word
1716biimpd 200 . . . . . . . . . 10 Word
1817adantr 453 . . . . . . . . 9 Word Word
195eqeq1i 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 hasheq0 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
2220, 21syl5ib 212 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
2322adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
2423imp 420 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
25 0cn 9089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625subidi 9376 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2827eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2926, 28syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word
3130opeq1d 3992 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
3231oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12 Word Word substr substr
3324, 32oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11 Word Word concat substr concat substr
34 swrdcl 11771 . . . . . . . . . . . . . 14 Word substr Word
35 ccatlid 11753 . . . . . . . . . . . . . 14 substr Word concat substr substr
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Word concat substr substr
3736adantl 454 . . . . . . . . . . . 12 Word Word concat substr substr
3837adantr 453 . . . . . . . . . . 11 Word Word concat substr substr
3933, 38eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10 Word Word concat substr substr
4039ex 425 . . . . . . . . 9 Word Word concat substr substr
4118, 40syld 43 . . . . . . . 8 Word Word concat substr substr
4241adantr 453 . . . . . . 7 Word Word concat substr substr
4342imp 420 . . . . . 6 Word Word concat substr substr
44433adant2 977 . . . . 5 Word Word concat substr substr
4512, 44eqtrd 2470 . . . 4 Word Word substr concat substr substr
46113ad2ant2 980 . . . . 5 Word Word substr concat substr concat substr
475opeq2i 3990 . . . . . . . . . . 11
4847oveq2i 6095 . . . . . . . . . 10 substr substr
49 swrdid 11777 . . . . . . . . . 10 Word substr
5048, 49syl5req 2483 . . . . . . . . 9 Word substr
5150adantr 453 . . . . . . . 8 Word Word substr
5251adantr 453 . . . . . . 7 Word Word substr
53523ad2ant1 979 . . . . . 6 Word Word substr
5453oveq1d 6099 . . . . 5 Word Word concat substr substr concat substr
5546, 54eqtrd 2470 . . . 4 Word Word substr concat substr substr concat substr
5610, 45, 552if2 28067 . . 3 Word Word substr concat substr substr substr substr concat substr
578, 56eqtr4d 2473 . 2 Word Word concat substr substr concat substr
5857ex 425 1 Word Word concat substr substr concat substr
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  c0 3630  cif 3741  cop 3819   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc0 8995   caddc 8998   cle 9126   cmin 9296  cn0 10226  cfz 11048  chash 11623  Word cword 11722   concat cconcat 11723   substr csubstr 11725 This theorem is referenced by:  2cshw1lem2  28283 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-substr 11731
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