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Theorem swrdccatin12lem3a 28230
Description: Lemma 1 for swrdccatin12lem3 28234. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem3a  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ X ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem3a
StepHypRef Expression
1 elfz2 11052 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  M  /\  M  <_  L ) ) )
2 zsubcl 10321 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M
)  e.  ZZ )
323adant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
43adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  M  /\  M  <_  L ) )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
51, 4sylbi 189 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
65adantr 453 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( L  -  M
)  e.  ZZ )
7 elfzonelfzo 28143 . . 3  |-  ( ( L  -  M )  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  (
0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  K  e.  ( ( L  -  M
)..^ ( N  -  M ) ) ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) ) ) )
9 elfzoelz 11142 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  ->  K  e.  ZZ )
10 elfzelz 11061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  N  e.  ZZ )
11 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  L  e.  ZZ )
12 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1311, 12anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
15 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
1614, 15anim12ci 552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
1713, 16jca 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) )
1817exp32 590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
1910, 18syl5 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
20193adant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
2120adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  M  /\  M  <_  L ) )  ->  ( N  e.  ( L ... X
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
221, 21sylbi 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
2322imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) )
2423impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) )
25 elfzomelpfzo 28140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( L  -  M
)..^ ( N  -  M ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ N ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ N ) ) )
27 elfz2 11052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( L ... X )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) ) )
28 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  N  e.  ZZ )
29 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  X  e.  ZZ )
30 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  N  <_  X )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  N  <_  X )
3228, 29, 313jca 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
3327, 32sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
3433adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
3534adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
36 eluz2 10496 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
3735, 36sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  X  e.  (
ZZ>= `  N ) )
38 fzoss2 11165 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( L..^ N )  C_  ( L..^ X ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( L..^ N
)  C_  ( L..^ X ) )
4039sseld 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e.  ( L..^ N )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ X ) ) )
4126, 40sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ X ) ) )
4241ex 425 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ X ) ) ) )
4342com23 75 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M
) )  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ X ) ) ) )
449, 43mpcom 35 . . 3  |-  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ X ) ) )
4544com12 30 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( K  e.  ( ( L  -  M
)..^ ( N  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ X ) ) )
468, 45syld 43 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992    + caddc 8995    <_ cle 9123    - cmin 9293   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137
This theorem is referenced by:  swrdccatin12lem3  28234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138
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