MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlen Unicode version

Theorem swrdlen 11456
Description: Length of an extracted subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrdlen  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( S substr  <. F ,  L >. ) )  =  ( L  -  F ) )

Proof of Theorem swrdlen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( S `
 ( x  +  F ) )  e. 
_V
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F
) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) )
31, 2fnmpti 5372 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F
) ) )  Fn  ( 0..^ ( L  -  F ) )
4 swrdval2 11453 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S substr  <. F ,  L >. )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( S `
 ( x  +  F ) ) ) )
54fneq1d 5335 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S substr  <. F ,  L >. )  Fn  (
0..^ ( L  -  F ) )  <->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( S `  (
x  +  F ) ) )  Fn  (
0..^ ( L  -  F ) ) ) )
63, 5mpbiri 224 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S substr  <. F ,  L >. )  Fn  (
0..^ ( L  -  F ) ) )
7 hashfn 11357 . . 3  |-  ( ( S substr  <. F ,  L >. )  Fn  ( 0..^ ( L  -  F
) )  ->  ( # `
 ( S substr  <. F ,  L >. ) )  =  ( # `  (
0..^ ( L  -  F ) ) ) )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( S substr  <. F ,  L >. ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( L  -  F ) ) ) )
9 fznn0sub 10824 . . . 4  |-  ( F  e.  ( 0 ... L )  ->  ( L  -  F )  e.  NN0 )
1093ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( L  -  F
)  e.  NN0 )
11 hashfzo0 11384 . . 3  |-  ( ( L  -  F )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  =  ( L  -  F ) )
1210, 11syl 15 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( 0..^ ( L  -  F
) ) )  =  ( L  -  F
) )
138, 12eqtrd 2315 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( S substr  <. F ,  L >. ) )  =  ( L  -  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643    e. cmpt 4077    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    + caddc 8740    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   substr csubstr 11406
This theorem is referenced by:  swrdid  11458  ccatswrd  11459  swrdccat2  11461  spllen  11469  splfv1  11470  splfv2a  11471  swrds1  11473  efgredleme  15052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-substr 11412
  Copyright terms: Public domain W3C validator