MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Unicode version

Theorem swrds1 11707
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  I
) "> )

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 11686 . . . 4  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 )
>. )  e. Word  A )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  e. Word  A
)
3 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  A )
4 elfzouz 11067 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6 elfzoelz 11063 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ZZ )
76adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ZZ )
8 uzid 10425 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  ( ZZ>= `  I )
)
9 peano2uz 10455 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I )
)
107, 8, 93syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I ) )
11 elfzuzb 10978 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( I  +  1 ) )  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I ) ) )
125, 10, 11sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
1 ) ) )
13 fzofzp1 11109 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1413adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
15 swrdlen 11690 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
1 ) )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  ( ( I  +  1 )  -  I ) )
163, 12, 14, 15syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  ( ( I  +  1 )  -  I ) )
177zcnd 10301 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  CC )
18 ax-1cn 8974 . . . . 5  |-  1  e.  CC
19 pncan2 9237 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( I  + 
1 )  -  I
)  =  1 )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  -  I
)  =  1 )
2116, 20eqtrd 2412 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  1 )
22 eqs1 11681 . . 3  |-  ( ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  e. Word  A  /\  ( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 )
>. ) )  =  1 )  ->  ( W substr  <.
I ,  ( I  +  1 ) >.
)  =  <" (
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
) "> )
232, 21, 22syl2anc 643 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
) "> )
24 0z 10218 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
25 snidg 3775 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 }
2720oveq2d 6029 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( ( I  +  1 )  -  I ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
28 fzo01 11103 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
2927, 28syl6eq 2428 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( ( I  +  1 )  -  I ) )  =  { 0 } )
3026, 29syl5eleqr 2467 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( ( I  + 
1 )  -  I
) ) )
31 swrdfv 11691 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  (
0 ... ( I  + 
1 ) )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( ( I  + 
1 )  -  I
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
323, 12, 14, 30, 31syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
33 addid2 9174 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  CC  ->  (
0  +  I )  =  I )
3433eqcomd 2385 . . . . . 6  |-  ( I  e.  CC  ->  I  =  ( 0  +  I ) )
3517, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  =  ( 0  +  I ) )
3635fveq2d 5665 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  I
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
3732, 36eqtr4d 2415 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 I ) )
3837s1eqd 11674 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  <" ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) `  0 ) ">  =  <" ( W `  I ) "> )
3923, 38eqtrd 2412 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  I
) "> )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3750   <.cop 3753   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    - cmin 9216   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968  ..^cfzo 11058   #chash 11538  Word cword 11637   <"cs1 11639   substr csubstr 11640
This theorem is referenced by:  wrdeqcats1  11708  wrdeqs1cat  11709  swrds2  11800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-hash 11539  df-word 11643  df-s1 11645  df-substr 11646
  Copyright terms: Public domain W3C validator